$\mathbb R [x]$ halkasına ait polinom ile gerçel sayı katsayılı polinom fonksiyonu farklı kavramlar mıdır?

Question

Soyut cebir dalı içinde, genel olarak polinom ile polinom fonksiyonu farklı kavramlar olarak değerlendiriliyor. Sebep olarak bir kitapta şu örnek sunulmaktadır: $p(x)=x$ ve $q(x)=x^2$ polinomları $\mathbb Z_2[x]$ polinom halkasına ait olsun. (Burada $Z_2[x]$; katsayılarını $\mod 2$'deki kalan sınıfları olan $\{ 0, 1\}$ den alan polinom halkasını ifade etmektedir). Buna göre, dereceleri farklı olan $p$ ve $q$ polinomları farklıdır. Fakat $p(1)=1=q(1)$ ve $p(0)=0=q(0)$ olduğundan her $x\in \mathbb Z_2 = \{ 0, 1\} $ için $p(x)=q(x)$ olup eşit fonksiyonlar olmaktadır.

Evet, bu açıklama genel anlamda polinom ile polinom fonksiyonu kavramlarının farklı olduğunu kesin biçimde gösteriyor.

Bununla beraber, bazı halkalarda polinom ile polinom fonksiyonu tamamen aynı kavramlardır diye düşünüyorum. Soru başlığında belirttiğim gibi $\mathbb R [x]$ halkasına ait iki $p(x),q(x)$ polinomu aldığımızda her $x \in \mathbb R $ için $p(x)=q(x) $ oluyorsa, bu durumda $p,q$ polinomlarının eşit dereceli terimlerinin katsayıları da eşit olur. Bunu ispatlamak kolaydır, Çünkü $h(x)=p(x) - q(x)$ olarak tanımlanan $h$ polinomunun sonsuz çoklukta kökü olur. Bu da $h$'nın sıfır polinomu olmasını gerektirir. Aksi halde, $\deg(h) =n$ ($n\geq 1$) olsa, $h$ polinomu derecesinden fazla köke sahip olurdu. Bu da cebirin temel teoremi ile çelişir. Demek ki $h(x)=0$ olup $p,q$ polinomlarında eşit dereceli terimlerin katsayıları eşittir. Yani bu iki polinom eşittir. $\mathbb Z_2 [x]$ de sorun olan husus, burada oluşmuyor. İddiamı desteklemek için kullandığım argümanım budur.

Şimdi, $\mathbb R [x]$ deki $p$ polinomu ile katsayılarını $\mathbb R$'den alan $p: \mathbb R  \to \mathbb R$ polinom fonksiyonunun aynı kavram olarak düşünülmesinde öğretim yöntem tekniği bakımından, anlaşılırlık bakımından fayda sağladığına inandığım bazı örnekleri sunacağım.

Problemler:

1.a $\mathbb R [x]$ halkasında $p(x)= \dfrac{3x-6}{x-2}$ polinom mudur?

1.b $\mathbb R $ üzerinde tanımlı $p(x)= \dfrac{3x-6}{x-2}$ bağıntısı polinom fonksiyonu mudur?

2.a $\mathbb R [x]$ halkasında $p(x)= \dfrac{x^4-1}{x^2+1}$ polinom mudur?

2.b $\mathbb R $ üzerinde tanımlı $p(x)= \dfrac{x^4-1}{x^2+1}$ bağıntısı polinom fonksiyonu mudur?

3.a $\mathbb R [x]$ halkasında $p(x)= \sqrt{x^2}$ polinom mudur?

3.b $\mathbb R $ üzerinde tanımlı $p(x)= \sqrt{x^2}$ bağıntısı polinom fonksiyonu mudur?

4.a $\mathbb R [x]$ halkasında $p(x)= x^{100}-2x^{99} + x +1$ polinomunun $x-2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

4.b $\mathbb R $ üzerinde tanımlı $p(x)= x^{100}-2x^{99} + x +1$ polinom fonksiyonunun $x-2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümler: 

Ben, iddiam doğrultusunda a-b maddeleri arasında ayrım gözetmediğim için bunları fonksiyona ait kavramları kullanarak çözerim. Bunları vereceğim:

1.b $\mathbb R$'de tanımlı bir polinom her $x$ gerçel sayısı için bir gerçel görüntüye sahip olmalıdır. Fakat $p(2)$ tanımlı olmadığından $p$ polinom değildir.

2.b  Her $x$ gerçel sayısı için özdeş olarak $p(x)= \dfrac{x^4-1}{x^2+1}=x^2-1$ olduğundan $p$ bir polinomdur.

3.b  Her $x$ gerçel sayısı için özdeş olarak $p(x)=\sqrt{x^2}=|x|$ olur. Ayrıca bir polinom fonksiyonu her noktada türevlenebilirdir. Mutlak değer fonksiyonunun grafiğinde $x=0$ noktasında kırılma yaptığını bildiğimiz için (diğer bir deyişle sol türev ve sağ türev farklıdır) $p'(0)$ yoktur. $p$ polinom değildir.

4.b $p(x)= x^{100}-2x^{99} + x +1$ polinomunun $x-2$ polinomu ile bölümünden kalanı bulmak için basitçe $p(2)$ değerini hesaplarız. Yani $p$ fonksiyonu altında $2$'nin görüntüsünü buluruz. $p(2)=2^{100}-2\cdot 2^{99}+2+1=3$ olup kalan $3$ tür.

Gördüğünüz gibi, bu tür sorulara cevap verirken tanım kümesi, özdeş olarak eşit olma, türevlenebilme, görüntü hesaplama gibi kavramları kullanarak cevap verdim. $\mathbb R[x]$'in polinomu, $\mathbb R$ de tanımlı polinom fonksiyon değil ise, problemlerin a şıklarına ''tanım kümesi, özdeş olarak eşit olma, türevlenebilme, görüntü hesaplama'' gibi fonksiyonlara ait kavramları kullanmadan cevap vermek gerekir.

Değerlendirmeleriniz ve uzman görüşleriniz benim için çok değerlidir. Polinomun ne olduğunu yanlış anlıyor da olabilirim. İlk kez polinomu öğrenecek birine bu kavram nasıl sunulur? Ben bir fonksiyon olarak sunuyorum. Farklı/aynı yönlü cevaplarınızı, yorumlarınızı paylaşırsanız  memnun olurum. Çünkü bu sayfanın bağlantısını çeşitli matematik öğretmen gruplarında da paylaşacağım ve tahtaya doğru bilgiler yazmak, bunları doğru öğretmek isteyen birçok öğretmen var. Teşekkürler!

Comments

Benim de sanki buna benzer bir sorum vardı. Şu aralar bilgisayarım yok ve ilk akıllı telefonumu kullanmaya yeni yeni alışmaya başladığımdan pek araştırıyorum eski soruları vs. Neyse... 

1b için verilen kural gerçel sayılar üzerinde tanımlı bir kural olamaz. Bu nedenle gerçel sayılar üzerinde tam tanımlanmamış oluruz. Herhangi bir tanım kümesi üzerinde, yani gerçel sayıların 2yi içermeyen bir alt kümesi üzerinde, bir polinom fonksiyonudur. Hatta kuralı $p(x) =3$ olur. Burada alt küme üzerinde polinom fonksiyonu tanımına göre konuşmuş oluyoruz. Bir cismin ya da halkanın bir alt kümesi diyelim... 

---

Reel katsayılı polinomlar kümesi

$$\mathbb{R}[x] = \{ a_0 + a_1 x + a_2x^2 + \ldots + a_n x^n \; : \; n \in \mathbb{N} \text{ ve } a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\}$$ üzerinde toplama işlemi $x$'in aynı kuvvetli terimlerini toplamak şeklinde tanımlanıyor genelde. Burada $x$ (ve $x$'in kuvvetleri) bir bilinmeyen, değer verilecek bir şey gibi değil de soyut bir vektör/eleman olarak ele alınıyor. Skalerlerle çarpma da aynı şekilde tanımlanıyor. Polinom çarpması da $x^n.x^m = x^{m+n}$ kuralının lineer bir şekilde bütün halkaya yayılmasıyla tanımlanıyor.

Öte yandan bir de reel sayılardan reel sayılara giden fonksiyonlar kümesi var: 

$$F(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \; : \; f \text{ fonksiyon}\}$$

Bu küme üzerinde toplama, skaler çarpma ve çarpma işlemleri şöyle tanımlanıyor:

$(f+g)(x):= f(x) + g(x) $

$(cf)(x) := cf(x)$

$(fg)(x) := f(x)g(x)$

-----

Herhangi bir $a$ reel sayısını alalım.

$$yk_a: \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}$$ fonksiyonunu $x$ yerine $a$ koyma kuralıyla tanımlayalım. Sonra da her $p \in \mathbb{R}[x]$ için $f_p : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunu da $f_p(x) = yk_x(p)$ kuralıyla tanımlayalım. Sağ kulağımı sol elimle yukarıdan tutmak gibi bir şey yapmış oldum. Ama yaptığım şey elimdeki $p$ polinomunu, kuralı $p$ ile verilen $f_p$ polinom fonksiyonuna götürmekten başka bir şey değil.

Elimizde şöyle bir fonksiyon var şimdi:

$$\mathbb{R}[x] \to F(\mathbb{R},\mathbb{R})$$

$$p \mapsto f_p$$

Bu fonksiyon $p$ polinomunu polinom fonksiyonuna götürüyor. Aynı zamanda bu fonksiyon bir reel vektör uzayı fonksiyonu (yani lineer), hatta bir $\mathbb{R}$-cebiri fonksiyonu. Yani çarpmaya da saygı duyuyor. Buraya kadar reel sayılar ile herhangi başka bir cisim arasında bir fark yok. Reel sayıların ortama girdiği yer ise şu: bu yarattığımız fonksiyon birebir. Dolayısıyla polinomlar ile polinom fonksiyonları arasında birebir-örten bir eşleme var. Bu da demek oluyor ki bu arkadaşları en azından cebirsel olarak aynı görebiliriz. Başka türlü de aynı göremeyiz zaten zira polinomlar cebirsel nesneler. 

Şimdi tekrar okuyunca çok açıklayıcı bir şey yazmadığımı farkettim. Ama düzeltmek için de vaktim yok maalesef.

---

Özgür bey, yorumlarınız fikir verici oldu yine de, teşekküler. Bir kişinin soru metnindeki her maddeye cevap yazması zorunluluğu yoktur. Kısmi yanıtlar, yorumlar da kabuldür. Aklınıza geldikçe eklemeler yapabilirsiniz, sağolun.

Answer 1

Eğitimcilerin aklına 'Acaba polinomu yanlış mı öğretiyoruz?' soruları gelmektedir. Eğer öyle ise, doğrusunu öğrenip öğretelim diyoruz kendi kendimize. Sorularımın temeline cevap oluşturacak bazı fikirlere sahip oldum. Buradan paylaşmak istedim ve sizlerin de görüşleri/yorumları olursa belirtebilirsiniz. Teşekkürler.

Polinom kavramı; ikinci, üçüncü, dördüncü dereceden  denklemlerin gerçel (sonra da sanal) köklerinin bulunması gibi problemlerle matematiğe girmiş ve $x$ bulunması amaçlanan sayıyı temsil etmiştir. Polinom, ilk önce bir fonksiyon olarak matematik sahnesinde kendisine yer bulmuştur. Sonraları bu kavram soyut cebir çalışmalarıyla soyutlamalara ve genellemelere uğraşmıştır. Polinom halkası kavramı gibi ...

Bununla beraber, Stewart's Calculus, Thomas' Calculus vb tanınmış analiz kitaplarında polinom bir fonksiyon olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde fonksiyon biçimindeki polinom tanımlamaların, bu bilim insanlarının soyut cebirdeki genellemelerden habersiz olduklarından ya da işgüzarlık olarak  yaptıklarından kaynaklandığını düşünmek doğru olmaz. Peki, bu seviyedeki bilim insanları neden genel biçimdeki soyut cebirin sunduğu tanımlamalara yer vermemişlerdir? Birkaç cevap sıralayabiliriz: Çünkü çalışılan alan (calculus/analiz) içinde polinomu fonksiyon olarak ele almak bu alandaki işleri görmeye, problemlere çözüm üretmeye  rahatça yetmektedir. Polinomu genelleştirilmiş haliyle sunmak konuyu dağıtmaya sebep olur. Ayrıca, matematik eğitimi  verilen kişilere, eğitimcilerin polinom kavramını etkili biçimde sunabilmesi/öğretebilmesi  için fonksiyon olarak tanımlamak uygun bir yoldur. Günümüzde bu kavramı öğrenmeye/öğretmeye uygun olan bir yol budur. Örneğin limiti öğretirken ilk olarak delta-epsilon tekniğine dayalı olarak sunmayız. Ya da konveks fonksiyonu sunarken tanımını $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) $ biçimide vermeyiz ve ikinci türev testiyle özel bir halde sunarız. Yani, polinomun fonksiyon olarak sunulması cahillikten değil, bir öğretim yöntem ve tekniği olarak uygun oluşundandır. Yine bir kavramın oluşumuyla  ilgili tarihsel gelişim sürecinden uzak tutmak o kavramın anlaşılmasını güçleştirir. Bu bakımdan da polinomu bir fonksiyon olarak tanımlayarak sunarız. Bunlara başka sebepler de eklenebilir. 

Peki ne zaman, polinomu soyut cebirdeki soyutlanmış/genelleştirilmiş biçimiyle sunalım? Soyut cebir dersi sunuluyorsa o alan içinde bu eğitimi alanlara sunulur. Spesifik olarak çalışılıyorsa o alan içinde pek tabii olarak fonksiyonla bağlantılı olması gerekmeyen polinom tanımıyla ilgilenilir.

Matematik eğitimi ile ilgili 1965 gibi yazılmış bir makaleden okuduğumu hatırladığım kadarıyla ve ana hatlarıyla ekliyorum: Matematik eğitiminde bir konuyu olabildiğince sade ve anlaşılır sunmak esastır. Detaylara girdikçe anlaşılırlık düşer. Örneğin geometriyi (günümüzde eksik olduğu bilinse de) Euclid postülatlarına göre sunarız, Hilbert aksiyomlarıyla bu eksiklikler tamamlamıştır fakat temel matematik olan Euclid Geometrisi'dir. Hilbert Geometrisi, temel matematik değildir. İleri seviye bir çalışma konusudur.

Lise seviyesinde matematik öğretmenliği yapan meslektaşlarımın merak ettikleri bu konuyu, kendilerine anlaşılır biçimde ve olabildiğince kesin çerçevelerle ifade edebildiğimi umuyorum. Özetle, öğrencilerimize bu konuyu sunarken polinomu bir fonksiyon olarak tanımlamak günümüzde doğru bir yöntemdir. Bu sebeple lisans seviyesinde analiz (calculus) kitaplarında olduğu gibi lise seviyesindeki ders kitaplarında da polinomun fonksiyon olarak tanımlanması doğru bir yaklaşımdır. (Zaten ders sunumlarımıza da böyle anlatıyorduk) Müsterih olunuz. Çalışmalarınızda kolaylıklar diliyorum...