Aslina bakarsan evet. Ama $\mathbb{Z}/8$'in yapisini daha iyi anlamayi basarabilirsek daha az deneme yapabiliriz.
Moduler aritmetikte (sayilar kuraminda) cok yararli bir teorem var. Sunu soyluyor. Herhangi bir $n$ dogal sayisi icin $\mathbb{Z}/n$'nin tersinir elemanlari (carpmaya gore tersi olan elemanlari) $n$ ile aralarinda asal olan elemanlardir. Bu teoremin altinda yatan dusunce de su: Eger $x$ ve $y$ iki dogal sayi ise ve $d = ebob(x,y)$ ise, oyle bir $a, b$ tam sayi cifti vardir ki $ax + by = ebob(x,y)$ olur. Bu da Oklid algoritmasinin bir sonucu.
Bunu bildigim takdirde deneme icin su secenekleri eliyorum: $1, 3, 5 , 7$. Cunku bunlar $8$ ile aralarinda asal. Dolayisiyla tersleri var. Eger bir $a$ elemaninin tersi varsa, $ax = 0$ denkleminin tek cozumu sifirdir. Cunku iki tarafi da suitable2015'in yaptigi gibi $a$'ya bolebilirsin. Dolayisiyla $4y = 0$ denkleminin cozumu ya da $y4 = 0$ denkleminin cozumu olan $y$'ler $0, 2, 4, 6$ arasinda olmali. $y = 0$ her zaman bir cozum. Dolayisiyla sadece $2, 4 $ ve $6$'yi denesem yeterli.
Simdi farkediyorum ki $4y = 0$ denkleminin aslinda $4$ tane cozumu var. $0, 2, 4, 6$. Zira $4.4 = 0$.
Bize lazim olan $4y = 0$ ve $6y = 4$ denklemlerini cozmek ayni anda. Ve bu iki denklemi ayni anda saglayan $y$ degerleri $y = 2$ ve $y = 6$. Bunu da deneyerek yapiyorum ben ama denedigim sayilar sadece $2, 4, 6$ cunku
-
ilk denklemi saglama potansiyeli olanlar $0, 2, 4, 6$ ve bunlarin hepsi sagliyor.
-
$0, 2, 4, 6$ arasindan da ikinci denklemi saglama potansylei olanlar $2, 4, 6$.