Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3k kez görüntülendi

Cevap (3,2) ama y için 6 verdiğimiz zamanda denklemler sağlanıyor bu denklem sisteminin tüm köklerini nasıl bulabiliriz?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (34 puan) tarafından  | 3k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

5x+6y=3

3x+4y=1

Z/8 de x=?, y=?

10x+12y=6

-9x-12y=-3

x=3 <8

y=(1-9)/4=-8/4=-2

z/8 de y=?

y=-2+8=6 <8

Cevap (3,6)



(3.9k puan) tarafından 

Y=2 için de denklem sağlanıyor bu şekilde tüm kökler gelmiyor heralde.

y=2 nin sağladığını nasıl anladın?

Sruda ki denklemlere y=2 x=3 verince ikiside saglaniyor.

@suitable2015 $y$'yi bolmek icin $4$ ile bolmussun. Bu $4$'un tersiyle carpmak demek. Ama $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$'de $4$'un tersi yok. Yani $4$ ile bolmeye iznin yok. Ayni sey $6$ icin de gecerli.

$x = 3$ bulduktan sonra elinde $3 . 3 + 4y = 1$ denklemi var. Buradan $y$'yi cozeceksin. $9 + 4y = 1$ ise $4y = 0$ olur. Bu denklemin de uc tane cozumu var. $y = 0, 2, 6$. Yani toplamda uc tane cozum var.

$x = 3, y = 0$

$x = 3, y = 2$

$x = 3, y =6$

Duzeltme/Ekleme:

$x = 3$'u diger denklemde yerine koydugumuzda $15x + 6y = 3$ geliyor. Yani $6y = 4$. $y = 0$ bu denklemi saglamadigi icin, yukaridaki ilk cozumu kabul etmiyoruz. $y= 2$ ve $y= 6$ bu denklemi sagliyor. Dolayisiyla iki tane cozum var. 

ynin 3 cozumu oldugunu nasil anladik? 0,1,2,3,4,5,6,7 yi deniyerek mi?

Aslina bakarsan evet. Ama $\mathbb{Z}/8$'in yapisini daha iyi anlamayi basarabilirsek daha az deneme yapabiliriz. 

Moduler aritmetikte (sayilar kuraminda) cok yararli bir teorem var. Sunu soyluyor. Herhangi bir $n$ dogal sayisi icin $\mathbb{Z}/n$'nin tersinir elemanlari (carpmaya gore tersi olan elemanlari) $n$ ile aralarinda asal olan elemanlardir. Bu teoremin altinda yatan dusunce de su: Eger $x$ ve $y$ iki dogal sayi ise ve $d = ebob(x,y)$ ise, oyle bir $a, b$ tam sayi cifti vardir ki $ax + by = ebob(x,y)$ olur. Bu da Oklid algoritmasinin bir sonucu.

Bunu bildigim takdirde deneme icin su secenekleri eliyorum: $1, 3, 5 , 7$. Cunku bunlar $8$ ile aralarinda asal. Dolayisiyla tersleri var. Eger bir $a$ elemaninin tersi varsa, $ax = 0$ denkleminin tek cozumu sifirdir. Cunku iki tarafi da suitable2015'in yaptigi gibi $a$'ya bolebilirsin. Dolayisiyla $4y = 0$ denkleminin cozumu ya da $y4 = 0$ denkleminin cozumu olan $y$'ler $0, 2, 4, 6$ arasinda olmali. $y = 0$ her zaman bir cozum. Dolayisiyla sadece $2, 4 $ ve $6$'yi denesem yeterli. 


Simdi farkediyorum ki $4y = 0$ denkleminin aslinda $4$ tane cozumu var. $0, 2, 4, 6$. Zira $4.4 = 0$.


Bize lazim olan $4y = 0$ ve $6y = 4$ denklemlerini cozmek ayni anda. Ve bu iki denklemi ayni anda saglayan $y$ degerleri $y = 2$ ve $y = 6$. Bunu da deneyerek yapiyorum ben ama denedigim sayilar sadece $2, 4, 6$ cunku

  1. ilk denklemi saglama potansiyeli olanlar $0, 2, 4, 6$ ve bunlarin hepsi sagliyor.
  2. $0, 2, 4, 6$ arasindan da ikinci denklemi saglama potansylei olanlar $2, 4, 6$.

Teşekkür ederim mesela 6x=12 (mod9) burdada sadelestirme yaparsak x=2 geliyor ama x=5 de olabiliyor eksik buluyoruz en iyi yontem ozaman kalan sinifinin temsilcilerini denemek midir bu sorularda Z/9 da x²=0 bunun cozumunde de yine denemek en garanti yontem midir?

$6x = 12$ denklemini reel sayilarda nasil cozuyoruz? Onu inceleyelim. $6x =12$ ise $6x - 12 = 0$'dir. $6x - 12 = 0$ ise $6(x-2)=0$'dir. $6(x-2)=0$ ise $x-2 = 0$'dir.  $\mathbb{Z}/9$'da cozerken de ayni seyi yapacaksin. Ama sadece son kisim farkli olacak.

$6(x-2) = 0$ ise $x- 2 = 0$ ya da $x- 2= 3$ ya da $x-3 = 6$ olmali. Yani $x =2, 5, 0$ olabilir.


$x^2 = 0$ icin de deneyerek yapacaksin. Ama $9$ ile aralarinda asal olanlar $1, 2, 4, 5, 7, 8$ olduklari icin bunlari bastan atabilirsin. Denemen gerekenler sadece $0, 3, 6$. 

Ben onluk sistemde çözmüştüm, Cevabı Z/8'de yorumlamıştım. Sadece Z/8 de çözülecekse T şeklinde toplam ve çarpım tabloları  yapılır, birim eleman, ters eleman, toplama sonucu tablodan görülebilir. Uzun işlemler bile yapmaya gerek olmayabilir. 

20,247 soru
21,773 cevap
73,414 yorum
2,135,766 kullanıcı