Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
47.7k kez görüntülendi

$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-2}  = \frac{z-7}{1}  $ ve 

$\frac{x+1}{7} =  \frac{y+1}{-6}  = \frac{z+1}{1}  $ 

doğruları arasındaki en kısa uzaklığı bulunuz.

Lisans Matematik kategorisinde (3.9k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 47.7k kez görüntülendi

Analitik Geometri problemi olduğu için Kategorisinin Lisans olması gerektiği düşüncesindeyim.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

1)Doğrular kesişiyorsa aralarındaki uzaklık sıfırdır.

$l:\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}=t$

$d:\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}=k$,

$  3+t=-1+7k\\ 5-2t=-1-6k\\ 7+t=-1+k$

$  t-7k=-4\\ -2t+6k=-6\\ t-k=-8 ..................(*)$ denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğundan bu iki doğru kesişmez.

2)Doğrular paralel ise, birisinin üzerindeki bir noktanın diğerine olan uzaklıklığıdır.

Uzayda doğrular arasındaki işlemler daha çok bu doğruların doğrultman vektörleri ile yapıldığından:

$l:\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ doğrusunun doğrultman vektörü $v=(1,-2,1)$ dir.

$d:\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ doğrusunun doğrultman vektörü $u=(7,-6,1)$ dir.

Paralel olan vektörlerin aynı sıradaki bileşenleri orantılı olduğundan ve $\frac 17\neq \frac{-2}{-6}\neq \frac{1}{1}$ olduğundan $\vec{v}$ ile $\vec{u}$ paralel değildir.

3)O halde doğrular aykırıdır. $l$ doğrusuna olan $A(t+3,-2t+5,t+7)$ noktasının $d:\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ doğrusuna olan uzaklık minimum olmalıdır. Bunun için $d$ doğrusu üzerinde bir nokta $P(-1,-1,-1)$ ve 

$\vec{AP}=(-4-t,-6+2t,-8-t)$ olmak üzere ,

$A$ noktasının $d$ doğrusuna olan uzaklığı $||\vec{PH}||=\frac{||\vec{AP}\times\vec{u}||}{||\vec{u}||}$ olduğundan sadece 

$||\vec{AP}\times\vec{u}||=\sqrt{(-54-4t)^2+(-52-6t)^2+(-8t+66)^2}$  'in minimum olması gerekir. Türevinin sıfırlanması ile $t=0$ olacak ve en yakın noktada $A(3,5,7)$ olacaktır.

(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Uzayda bir noktanın bir doğruya uzaklığını veren formülün bulunuşu bu linkten izlenebilir.

http://www.eba.gov.tr/video/izle/9207566ed968451b14a88a1fd43c0ebccb5f32d09c001

Türev alınup sıfıra eşitlenirse:

$ 2 (-54-4t) (-4) + 2 (-52-6t) (-6) +2(-8t+66)(-8)=0 $ 

 (432+ 32t )+(624+ 72t) + (128t -1056)=0

232t+0=0 , t=0 bulunur.

A(3,5,7) buldum.

Evet belirttiğim gibi hata yapmışım.Ama düzelttim. Teşekkürler.

Elinize sağlık, İki nokta arasındaki uzaklık =?

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,051,143 kullanıcı