Bahsi geçen nokta '' bir noktanın bir doğru üzerindeki dik izdüşümünün koordinatlarıdır.''
$A(x_0,y_0) $ noktasının $ax+by+c=0 $ denklemli doğru üzerindeki dik izdüşümü $B(x,y) $ olsun.
$ax+by+c=0 $ doğrusunun eğimi $-\dfrac{a}{b} $ olduğundan $AB $ doğrusunun eğimi $\dfrac{b}{a} $ dır. halde $AB $ doğrusunun denklemi;
$y-y_0=\dfrac{b}{a}(x-x_0) \Rightarrow ay-ay_0=bx-bx_0\Rightarrow bx-ay=bx_0-ay_0 $ olur.
$B(x,y) $ noktasının koordinatları
$ax+by=-c $
$bx-ay=bx_0-ay_0 $
Denklem sisteminin kökleridir.Birinci denklemi a ikinci denklemi b ileçarpıp taraf tarafa toplayalım.
$(a^2+b^2)x=b^2x_0-aby_0-ac $
$\Rightarrow x=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}=\dfrac{b^2x_0+a^2x_0-a^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2} $
$\Rightarrow x=\dfrac{x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}-\dfrac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2} $
$\Rightarrow \dfrac{x-x_0}{a}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $
elde ederiz.Benzer işlemleri yaparak
$\dfrac{y-y_0}{b}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $ bulunur.
Buradan Dik izdüşüm noktasının $B(x,y) $ koordinatları
$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $
ile bulunur.
ÖRNEK:$A(-2,1) $ noktasının $2x+3y+11=0 $ doğrusu üzerindeki dik izdüşüm noktasının koordinatları
$\dfrac{x-(-2)}{2}=\dfrac{y-1}{3}=-\dfrac{2.(-2)+3.1+11}{2^2+3^2} $ eşitliğinden kolayca bulunabilir.
Kolay gelsin.