Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
10.2k kez görüntülendi

Şekildeki gösterilen örnekte H noktasının koordinatı nasıl bulunur?

image

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından  1 uyarı
tarafından yeniden kategorilendirildi | 10.2k kez görüntülendi

Çerçeve içindeki eşitliğin ispatı mı isteniyor? Yoksa $H$ noktasının koordinatı mı?

H noktasının koordinatı isteniyor hocam.

Sizin ugraslariniz nelerdir?

$H$ noktası $d$ doğrusu ile $AH$ doğrusunun kesim noktası olduğundan, bu ikisinin ortak çözümü ile bulunabilir. Deneyin bakalım.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bahsi geçen nokta '' bir noktanın bir doğru üzerindeki dik izdüşümünün koordinatlarıdır.''


$A(x_0,y_0) $  noktasının $ax+by+c=0 $   denklemli doğru üzerindeki dik izdüşümü $B(x,y) $ olsun.

$ax+by+c=0 $ doğrusunun eğimi $-\dfrac{a}{b} $ olduğundan $AB $ doğrusunun eğimi $\dfrac{b}{a} $ dır. halde $AB $ doğrusunun denklemi;

$y-y_0=\dfrac{b}{a}(x-x_0) \Rightarrow ay-ay_0=bx-bx_0\Rightarrow bx-ay=bx_0-ay_0 $ olur.

$B(x,y) $ noktasının koordinatları

$ax+by=-c $

$bx-ay=bx_0-ay_0 $ 

Denklem sisteminin kökleridir.Birinci denklemi a ikinci denklemi b ileçarpıp taraf tarafa toplayalım.

$(a^2+b^2)x=b^2x_0-aby_0-ac $

$\Rightarrow x=\dfrac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}=\dfrac{b^2x_0+a^2x_0-a^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2} $

$\Rightarrow x=\dfrac{x_0(a^2+b^2)}{a^2+b^2}-\dfrac{a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2} $

$\Rightarrow \dfrac{x-x_0}{a}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $

elde ederiz.Benzer işlemleri yaparak

 $\dfrac{y-y_0}{b}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $ bulunur.

Buradan Dik izdüşüm noktasının  $B(x,y) $ koordinatları

$\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} $

ile bulunur.


ÖRNEK:$A(-2,1) $ noktasının $2x+3y+11=0 $ doğrusu üzerindeki dik izdüşüm noktasının koordinatları

$\dfrac{x-(-2)}{2}=\dfrac{y-1}{3}=-\dfrac{2.(-2)+3.1+11}{2^2+3^2} $ eşitliğinden kolayca bulunabilir.

Kolay gelsin.



(246 puan) tarafından 
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,124,938 kullanıcı