COMC geometri sorusu

Question

İngilizce'den Türkçe'ye çevrilmiştir.

Kaynak: https://cms.math.ca/Competitions/COMC/examarchive/comc2015-exam-en.pdf

ABC üçgeni, BCA açısı 90 derece olan bir dik üçgen olsun.

AC çaplı bir çember, AB hipotenüsünü  K  'da  kesmektedir.

Eğer, BK:AK=1:3 ise, BAC açısının ölçüsünü bulunuz.

Comments

AC nin ortası merkez ise çember A ve C noktasından geçer.

Answer 1

$AC$ çap olduğu için $[CK]\bot [AB]$ dir .Eğer $|AK|=3k$ olursa $|BK|=k$ olacaktır. Öklid teoreminden $|CK|=k\sqrt3$ olur. $\triangle CAK$ da $tan(CAK)=\frac{\sqrt 3}{3}\Rightarrow m(CAK)=30$ derecedir.

Comments

CK 'yı öklid teoreminden nasıl bulduk?

---

$AC$ çap ve çemberin $AB$ hipotenüsünü kestiği nokta  $K$ olduğundan $m(CKA)=90$ dır. $|CK|^2=|AK|.|BK|=3k.k\Rightarrow |CK|=k\sqrt3$ olur.

---

|CK|^2=3k.k

|CK|=$k\sqrt 3$

Karşı dik kenarın bitişik dik kenara oranı tan A olacağından 

 tan A =  $\frac {CK} {AK} = \sqrt 3$

---

İstirazınız neye? anlayamadım.

---

İki üçgenin benzerliğinden de yapılabilir.

---

Tabii ki yapılabilir. Zaten Öklid bağıntıları da benzerlikten çıkıyor.