k-türev almaca

Question

Tanım(k-türev, tek ve çok değişkenli göndermeler için, F.H. Jackson 1908): $k\in \mathbb{C}\setminus \{1\}$,  $\mathcal{D}_k\subset \mathbb{C}$ ve bir $f:\mathcal{D}_k\rightarrow \mathbb{C}$ için $D_x^{(k)}f(x)\equiv \frac{d^{(k)}}{d^{(k)}(x)} f(x):=\frac{f(kx)-f(x)}{(k-1)x}$

ya da $\mathcal{D}_k\subset \mathbb{C}\times\mathbb{C}\times ...$ için $\partial^{(k)}_x f(x,y,...):=\frac{f(kx,y,...)-f(x,y,...)}{(k-1)x}$

Tanım(k-türevlenebilme):  Bir $f:\mathcal{D}_k\rightarrow \mathbb{C}$ göndermesi eğer $k$-türevi var ve belli ise $k$-türevlenebilirdir.

Not: Sadece $0\in \mathcal{D}_k$ için bir sorun çıkmakta o zaman da $f'(0)$'ın var olması sorunu bir şekilde çözüyor sanırım. Alttaki soru buna yönelik.

Soru 1: Hiçbiryerde türevlenemeyen ama heryerde k-türevlenebilen bir gönderme örneği verebilirmisiniz? Tersi bir örnek bulabilirmisiniz?

Soru 2: $\psi$ derecesinden homojen bir gönderme $f$ için $\partial_x^{(k)}f(x,y,...)=\frac{k^\psi - 1}{k-1}\frac{f(x,y,...)}{x}$'in geçerli olduğunu gösterebilirmisiniz?

Tanım(k-basit sayı): $[\psi]_k=\frac{k^\psi -1}{k-1}$ ve $\text{lim}_{k\rightarrow 1}[\psi]_k=\psi$

Soru 3: k-basit sayıların -genel anlamda- özellikleri nelerdir?

Ek soru: Fraktal/kesirsel kümelerin homojen göndermelerle ne ilgisi vardır?

Soru 4: $lim_{k\rightarrow 1}\partial^{(k)}_x f(x,y,...)$ nedir? Ek olarak: $\partial^{(1)}_x f(x,y,...)$ ile eşdeğer midir (ilk, sorunun tek değişkenli biçimini düşünmek de yararlı olacaktır)? Neden?

Comments

bunun kesirli turevle bir ilgisi yok degil mi?

---

Ben tanimi anlamadim.

$q$-turevlenmek ne demek?

---

@emilezola69: Tanımı bir $\mu>0$ için $\frac{d^\mu}{dx^\mu}f(x):=\frac{d^m}{dx^m}\left(\frac{1}{\Gamma({m-\mu})}\displaystyle\int_0^x (x-t)^{m-\mu-1}f(t)dt \right)$ ($m$ burada herhangi bir $\mathbb{Z}^+ \ni m>\lceil \mu\rceil$) şeklinde olan kesirli türevle bildiğim kadarıyla ilgisi yok.

@Ozgur: Soruya türevlenebilmenin tanımını ekledim.

Bu arada $q$-türevin $q$'sunun 'quantum'un (latince kaç tane demek; türkçesi nice,nicemleme; değerlerin devamlı değil de ayrık olduğu anlamında) kısaltması olduğunu öğrendim, o zaman da $k$-türev demek daha uygun düşüyor.

---

Sagol ama ben yine anlamadim. Benim beynim "turevlenebilir" diyince bir limitin yakinsakligina gidiyor. Burada hic bir limit yok.

---

Bir $a$ noktasındaki normal türevlenebilirlik, $X$,$Y$ $\mathbb{R}$- ya da $\mathbb{C}$-Banach uzayları, $a\in \mathcal{D}\subseteq X$, $\mathcal{D}$ açık,  $f:\mathcal{D}\rightarrow Y$ sürekli için şöyle dimi:

Bir doğrusal gönderme $u:X\rightarrow Y$  var olacak ki $g:\mathcal{D}\rightarrow Y,x\mapsto f(a)+u(x-a)$ göndermesi için $\lim_{x\rightarrow a,x\neq a}\frac{\vert\vert g(x)-f(x)\vert\vert}{\vert\vert x-a\vert\vert}=0$ verecek (=$g$ ve $f$ birbirine $a$ noktasında dokunacak). Biricikliğini  kanıtlayabildiğimiz $u$'ya  da $f$'nin $a$ noktasındaki türevi diyoruz. Eğer $X$ doğrudan $\mathbb{R}$ ya da $\mathbb{C}$ olarak seçiliyorsa, yukardaki türevlenebilirliğin tanımının $lim_{x\rightarrow a,x\neq a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$'nin $Y$'de var olmasıyla eşdeğer olduğunu ve de $lim_{x\rightarrow a,x\neq a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$'nin, $f$'nin türevi $u$'ya ($f'(a)$ ya da $(Df)(a)$ diye yazıyoruz) eşit olduğunu kanıtlayabiliyoruz.((Tüm $a\in \mathcal{D}$'ler için geçerli olunca türevlenebilirlik ve türev de bütün fonksiyonun oluyor vs.))

Anladığım kadarıyla (yanlış anladıysam lütfen düzelt) normal tanımda da -karmaşık kümeler durumunda- türevlenebilirlik aynen türevin (hedef uzayında) var (ve belli) olması demek. Ama $k$-türevin neden tam olarak böyle tanımlandığı hakkında fikir sahibi değilim:)

---

Evet ama senin ikinci ve ucuncu satirdaki tanimlarinda limit yok?

---

Tamam, aciklamayi ikinci kez okudugumda anladim.