Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
958 kez görüntülendi

Asagidaki Laplace transform esitliklerini ispatlayiniz:

1) L{1}=1s, s>0;
2) L{t}=1s2, s>0;
3) L{eat}=1sa, s>a.

Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 958 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Cevap verecegim demistim ama unutmusum, genel bir cevap yazip giris kismini doldurayim.

Teorem:

1) tM oldugunda |f(t)|Keat sartini saglayan K ve M pozitif gercel sayilari ile a  gercel sayisi olsun. 

2) f fonksiyonu her pozitif A degeri icin 0tA arasinda parcali surekli olsun,

Bu durumda f fonksiyonunun Laplace TransformuL{f(t)}:=F(s)=0estf(t)dt (genel tanimi)  olarak tanimlanir ve F fonksiyonu s>a icin tanimli olur.

Ispat:
F(s)=0estf(t)dt=M0estf(t)dt+Mestf(t)dt olarak yazalim. tM icin
|estf(t)|Ke(sa)t olur ve dolayisiyla karsilacstirma testi geregi, sa>0 oldu\u gunda, Mestf(t)dt mutlak yakinsar. Ayrica kapali aralikta parcali surekli fonksiyonlar da yakinsadigindan M0estf(t)dt  de yakinsar. Bu da bize F(s) degerinin s>a icin tanimli oldugunu verir. 


Teorem:

c1 ve c2 sabit sayilar olsun ve f1(t) ile f2(t) fonksiyonlarinin, sirasi ile, Laplace donusumleri F1(s) ve F2(s) olsun. Bu durumda L{c1f1(t)+c2f2(t)}=c1L{f1(t)}+c2L{f2(t)}=c1F1(s)+c2F2(s) olur.

Ispat:

Tanimi uygularsak L{c1f1(t)+c2f2(t)}=0est(c1f1(t)+c2f2(t))dt=c10estf1(t)dt+c20estf2(t)dt=c1L{f1(t)}+c2L{f2(t)}=c1F1(s)+c2F2(s) olur.


Teorem :

Her 0tA araliuginda f fonksiyonu surekli ve f fonksiyonu parcali surekli olsun. Ayrica tM icin |f(t)|Keat sartini saglayan K, M pozitif gercel sayilari ile a gercel sayisi olsun. Bu durumda s>a icin L{f(t)}=sL{f(t)}f(0) olur.

Ispat:

Tanimi uygularsak L{f(t)}=0estf(t)dt=limRR0estf(t)dt ve u=est, dv=f(t)dt dersek  (du=sestdt olur ve v=f(t) olarak secebiliriz) limR(estf(t))|t=Rt=0limRR0(sest)f(t)dt=limR(esRf(R)f(0))+s0estf(t)dt =sL{f(t)}f(0) olur.

Ornek:

Her sR icin L{0}=0 olur.

Cozum:

Tanimi uygularsak L{0}=0(est0)dt=0  olur. 00dx=limRR00dx=limR0=0.


Ornek:

Her s>0 icin L{1}=1s olur.

Cozum:
L(f(t))=sL{f(t)}f(0) oldugunu hatirlayalim.(*) Tabii saglamasi gereken sartlar ile...
f(t)=1 icinL(0)=sL{1}f(0) olur, yani 0=sL{1}1 olur. Bu da bize L{1}=1s olmasi gerektigini verir.


Teorem:

n0 tam sayi olmak uzere her s>0 icin L{tn}=n!sn+1 olur.

Ispat: (Tumevarim):

L(f(t))=sL{f(t)}f(0) oldugunu hatirlayalim. (*) Tabii saglamasi gereken sartlar ile...
n=0 durumu icin L{1}=1s=n!sn+1 dogru. 
n=k0 tam sayi durumu icin dogru oldugunu kabul edelim. 
f(t)=tk+1 icin L((k+1)tk)=sL{tk+1}f(0)(k+1)L(tk)=sL(tk+1) olur ve kabulumuzden dolayi (k+1)k!sk+1=sL(tk+1)L(tk+1)=(k+1)!sk+2 olur.


Teorem: 
f(t) fonksiyonunun Laplace donusumu s>a icin F(s) olsun. Bu durumda s>a+c  icin L{ectf(t)}=F(sc) olur.

Ispat: 

Tanimi uygularsak L{ectf(t)}=0est(ectf(t))dt=0e(sc)tf(t)dt=F(sc)olur.

Basit cikarim: Bir ust teoremde f(t)=1 alirsak L{ect} bulunur.
(25.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

s>0  olmak üzere  L{f(t)}=0estf(t)dt

L{1}=0estdt=1sest|0=1s

L{t}=0esttdt=

L{eat}=0esteatdt=

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Ben de bi ara 'lari doldururum ek bir cevap olarak.

:-)                    

20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,864,929 kullanıcı