F bir cisim, E bu cismi içeren herhangi bir başka cisim ve a∈E de F üzerine cebirsel bir eleman olsun. Bu durumda a0+a1a+⋯+anan=0
eşitliğini sağlayacak
a0,a1,⋯,an∈F elemanları bulabiliriz. Burada
a0 ve
an'nin sıfır olmadığını kabul edebiliriz. O halde
1=a×−[a1a0+a2a0a+⋯+ana1a0an−1]
Yani
F[a] kümesinin içinde
a−1 elemanı da bulunuyormuş.
F(a)'nın tanımı gereği
F(a)⊆F[a] sonucu, oradan da
F(a)=F[a]eşitliği elde edilir. Özetlersek
a eğer
F üzerine cebirsel ise
F[a]=F(a) oluyormuş. Bunu kullanarakrğer
a ve
b elemanları
F üzerine cebirsel ise
F(a,b)=F(a)(b)=F[a](b)=F[a][b]=F[a,b]
eşitliği bulunur.
F[a,b] sonlu bir genişleme, öte yandan
a+b ve
a−1 elemanlarını da içeriyor.