Cisim genişlemeleri ve cebirsel genişlemeler

Question

$E$ cismi $F$ nin bir cisim genişlemesi olsun. $K$ da $E$ nin içerisindeki $F$ üzerinde cebirsel olan bütün elemanların kümesi olsun. Bu durumda $K$ nın da $F$ nin bir cisim genişlemesi olduğunu nasıl gösterebiliriz?

Comments

İspatın neresinde takıldınız?

Answer 1

$F$ bir cisim, $E$ bu cismi içeren herhangi bir başka cisim ve $a\in E$ de $F$ üzerine cebirsel bir eleman olsun. Bu durumda

$$a_0+a_1a+\cdots+a_na^n=0$$ eşitliğini sağlayacak $a_0,a_1,\cdots,a_n\in F$ elemanları bulabiliriz. Burada $a_0$ ve $a_n$'nin sıfır olmadığını kabul edebiliriz. O halde $$1=a\times-[\frac{a_1}{a_0}+\frac{a_2}{a_0}a+\cdots+\frac{a_n}{a_1a_0}a^{n-1}]$$ Yani $F[a]$ kümesinin içinde $a^{-1}$ elemanı da bulunuyormuş. $F(a)$'nın tanımı gereği $F(a)\subseteq F[a]$ sonucu, oradan da $F(a)= F[a]$eşitliği elde edilir. Özetlersek $a$ eğer $F$ üzerine cebirsel ise $F[a]=F(a)$ oluyormuş. Bunu kullanarakrğer $a$ ve $b$ elemanları $F$  üzerine cebirsel ise $$F(a,b)=F(a)(b)=F[a](b)=F[a][b]=F[a,b]$$ eşitliği bulunur. $F[a,b]$ sonlu bir genişleme, öte yandan $a+b$ ve $a^{-1}$ elemanlarını da içeriyor.

Comments

Şükranlarımı iletiyorum.

---

Bu ispatta bir bit yeniği var.

---

$a_0$ elemanını sıfırdan farklı kabul edebilmemiz, sağladığı polinomun monik indirgenemez olduğunu varsayabilmemizden mi?

Answer 2

ipucu: $a,b \ne 0 \in K$ elemanlari icin $F(a,b)$ cisminin $F$ uzerinde sonlu bir genisleme olacagini ve dolayisiyla da cebirsel bir genisleme alacagini gozlemleyin. Bu da $a+b$ ve $ab$  ve $b^{-1}$ elemanlarinin da $K$ kumesi icinde oldugunu verir.

Duzenleme: Yazim hatasi.

Comments

Meselem $a$ ve $b$,  $K$ nın elemanları iken $a+b$ ve $a/b$ nin $F$ üzerinde cebirsel olduğunu göstermek

---

Bu da o ispati veriryor.

---

http://matkafasi.com/60/alpha%24-cismi-uzerine-cebirselse-alpha-uzerine-cebirseldir#a101

de bir kısmı var.

---

Ondan ziyade $a$ cebirsel ise $F(a)$'nın sonlu genişleme olduğunu göstermek yeterli.

---

Şükranlarımı iletiyorum, açıkça yazmanız çok işime yaradı.

---

Ne demek, ben tesekkur ederim.

---

Sercan sana degil bana tesekkur etmis bence :) Bi de Dogan hocanin linkine.

---

Mekan sahibi olarak %5'i benim olmuyor mu :)

Answer 3

Ters eleman icin ek bir cevap olarak: $0\ne a \in K$ olsun. O zaman $a$ icin $a_n,a_0 \ne 0$ olacak sekide $a$ elemanini sifirlayan bir $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ polinomu vardir. Bu durumda $x^nf(1/x)$ polinomu da $1/a$ elemanini sifirlar.