Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.1k kez görüntülendi
E cismi F nin bir cisim genişlemesi olsun. K da E nin içerisindeki F üzerinde cebirsel olan bütün elemanların kümesi olsun. Bu durumda K nın da F nin bir cisim genişlemesi olduğunu nasıl gösterebiliriz?
Lisans Matematik kategorisinde (20 puan) tarafından  | 3.1k kez görüntülendi

İspatın neresinde takıldınız?

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

F bir cisim, E bu cismi içeren herhangi bir başka cisim ve aE de F üzerine cebirsel bir eleman olsun. Bu durumda a0+a1a++anan=0

eşitliğini sağlayacak a0,a1,,anF elemanları bulabiliriz. Burada a0 ve an'nin sıfır olmadığını kabul edebiliriz. O halde 1=a×[a1a0+a2a0a++ana1a0an1]
Yani F[a] kümesinin içinde a1 elemanı da bulunuyormuş. F(a)'nın tanımı gereği F(a)F[a] sonucu, oradan da F(a)=F[a]eşitliği elde edilir. Özetlersek a eğer F üzerine cebirsel ise F[a]=F(a) oluyormuş. Bunu kullanarakrğer a ve b elemanları F  üzerine cebirsel ise F(a,b)=F(a)(b)=F[a](b)=F[a][b]=F[a,b]
eşitliği bulunur. F[a,b] sonlu bir genişleme, öte yandan a+b ve a1 elemanlarını da içeriyor.

(3.7k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Şükranlarımı iletiyorum.

Bu ispatta bir bit yeniği var.

a0 elemanını sıfırdan farklı kabul edebilmemiz, sağladığı polinomun monik indirgenemez olduğunu varsayabilmemizden mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ipucu: a,b0K elemanlari icin F(a,b) cisminin F uzerinde sonlu bir genisleme olacagini ve dolayisiyla da cebirsel bir genisleme alacagini gozlemleyin. Bu da a+b ve ab  ve b1 elemanlarinin da K kumesi icinde oldugunu verir.

Duzenleme: Yazim hatasi.

(25.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Meselem a ve b,  K nın elemanları iken a+b ve a/b nin F üzerinde cebirsel olduğunu göstermek

Bu da o ispati veriryor.

Ondan ziyade a cebirsel ise F(a)'nın sonlu genişleme olduğunu göstermek yeterli.

Şükranlarımı iletiyorum, açıkça yazmanız çok işime yaradı.

Ne demek, ben tesekkur ederim.

Sercan sana degil bana tesekkur etmis bence :) Bi de Dogan hocanin linkine.

Mekan sahibi olarak %5'i benim olmuyor mu :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ters eleman icin ek bir cevap olarak: 0aK olsun. O zaman a icin an,a00 olacak sekide a elemanini sifirlayan bir f(x)=a0+a1x++anxn polinomu vardir. Bu durumda xnf(1/x) polinomu da 1/a elemanini sifirlar.

(25.5k puan) tarafından 
20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,658,078 kullanıcı