Cebirsel genişlemeler hakkında (hangileri cebirsel genişlemedir)

Question

Bu bi test sorusu: Hangileri cebirsel genişlemedir?

I)$\Bbb R [i]$ ,$\Bbb R$ üzerinde

II)$\Bbb Q (\sqrt2),$$\Bbb Q $ üzerinde

III)$\Bbb R (\sqrt2),$$\Bbb C $ üzerinde

IV)$\Bbb Q [i+1],$$\Bbb Q $ üzerinde

V)$\Bbb C,$$\Bbb Q $ üzerinde

VI)$\Bbb R,$$\Bbb Q $ üzerinde

Şimdi burada I öncülünde zaten $\Bbb R [i]=\Bbb C$ ve $|C:R|=2$ sonlu oldugu icin cebirsel genişleme.

II de yine sonlu. $\{1,\sqrt2\}$ taban olarak düsünülebilir. derecesi 2 olur

III cebirsell genişleme degil. cünkü $\Bbb R (\sqrt2),$$\Bbb C $ üzerinde cisim genişlemesi degil. $i\notin R[\sqrt2]$

 IV de $\Bbb Q [i+1]=\Bbb Q [i],$ $\{i,\sqrt2\}$ taban olarak alabiliriz. sonlu .

V de mesela $i \in \Bbb C$ Q da cebirsel olmadigindan cebirsel genişleme degil.

VI da benzer sekilde $e \in \Bbb R$, Q da cebirsel degil. cebirsel genişleme degil. 

şeklinde yorumladım. Acaba yazdıklarımda hata var mıdır?

Teşekkürler

Answer 1

1,2,3,4'u doğru aciklamisin. (4'teki taban $\{1,i\}$ olmali, $\{i,\sqrt 2\}$ degil).

Simdi 6 icin kullandigin dogru. 6 dogru ise 5 daha dogrudur degil mi? (Bknz. ingiliz atasozu: herkes esittir, ingilizler daha esittir).

Fakat 5 icin yanlis bir sebep bulmussun. Cunku $i$ elemana $\mathbb Q$ uzerinde cebirsel, minimal polinomu da $x^2+1$. Burda yine $e$ elemanini alabilirsin.

Comments

Teşekkürler. peki $\Bbb Q$ ,$ \Bbb Z_2$ nin cisim genişlemesi midir? Bunun için ayrı soru acayim mi yoksa cevap verebilir misiniz rica etsem. 

şimdi öyle düşündüm. $\Bbb Z_2$ $\Bbb Q$ nun altcismi olmalı. Yani Q nun işlemleriyle cebir olmalı. Cisim olmasi icinde toplama ve çarpmada kapalı olmalı. ancak $1+1\notin Z_2$ olduğundan altcisim degildir, Q genişleme degildir

Böyle yazsam dogru olur mu? 

---

Ben bi sure uygun olmayacagim. Soru olarak sorabilirsin.

$\mathbb Z_2$ bir cisim mi? $\mathbb Z_2$ ile $\mathbb F_2$ her zaman ayni olamayabilir.  $\mathbb Z_2$ $2$-sel tam sayilar olarak gecer. ($p$-adic integers olarak ingilizce olarak aratabilirsin).

Eger bahsdilen $\mathbb F_2$ ise $1+1=0\in \mathbb F_2$ olur. Elemani yani. Fakat karakteristikleri farkli. Birinde $1+1=0$  iken digerinde $1+1+1+\cdots$ hicbir zaman sifir olmaz, karakteristik $0$ denir bu nedenle. Cunku $n\cdot1=0$ esitligini saglayan bir pozitif tam sayi yok ve bunu saglayan sadece sifir var.

---

cevabınızı tam dikkatli okumamışım. 3 için cebirsel genişleme demişsiniz. neden oldugunu yazar mısınız?

---

Düzenledim.