Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (51 puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi | 1.3k kez görüntülendi

İfadede eşitlik var, siz eşitsizlik sormuşsunuz.

Tamam düzeltim

Mutlak değerin sonucu pozitiftir. İki doğal sayının toplamı 1 olacak.
Mutlak değerlerden biri sıfır mı olacak ki diğeri 1 olsun, toplamları 1 etsin.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Elinde bir tam sayi ikilisi var: $(x,y)$. Bu ikiliyi duzlemde bir nokta gibi dusun. Aslinda "duzlem"e de gerek yok. Evindeki banyodaki karolar ya da kareli defterdeki kareler de is gorur. Bunlarin birlestikleri yerleri, yani koseleri nokta olarak kabul et. Ne de olsa sadece tamsayilarla ilgileniyoruz. Sadece saga-sola-asagiya-yukariya hareket edebiliyorsun ve tek seferde bir birim ilerleyebiliyorsun.

Simdi elinde iki tane nokta olsun. Bunlarin arasindaki uzakligi soyle tanimla: "Birinci noktadan ikinci noktaya gitmek icin atman gereken adim sayisi." Mantikli mi? (Burada dur ve dusun) Oncelikle bunun mantikli bir tanim olduguna ikna olmamiz lazim: Kareli defterin uzerinde iki tane nokta isaretle. Bu iki noktadan biri baslangic biri bitis noktasi olsun. Baslangic noktasindan cik ve her adimda saga-sola-yukari-asagi bir adim atarak ikinci noktaya ulas. (Bu noktada gercekten bu alistirmayi yapiyor olman lazim, yoksa bu alistirmanin hicbir faydasi yok). Bunu 5-6 kere yap. (Gerekirse 10 kere) Sunu farkedeceksin: Iki nokta arasinda cizdigim yol cok karmasik bir yol olabilir, biraz asagi biraz yukari biraz saga biraz sola sonra tekrar saga gitmis olabilir, yolu gereksiz uzatmis olabilirsin. Demek ki uzakligi "birinci noktadan ikinci noktaya gitmek icin gereken adim sayisi" olarak tanimlamak dogru degil. Ama yine de bir sekilde sunu tanimlayabilirsin: "birinci noktadan ikinci noktaya gitmek icin gereken minimum adim sayisi". Adim sayimizin minimum olmasi icin gereksiz adim atmiyor olmamiz lazim. Bir kere yukari cikiyorsak, bir daha asagi inmememiz lazim mesela. Bir kere saga gidiyorsak, bir daha sola donmememiz lazim. Bunu uyguladigimiz takdirde, sadece gerekli sayida adim atmis olacagiz (burada kendi kendini ikna et, bu gercekten banyoda yapilabilecek bir egzersiz). Bunun icin en sade yontem de ilk basta sadece yukariya, gerekli yukseklige varinca sadece saga gitmek (baslangic noktasi, bitis noktasinin solunda ve altindaysa, baska yerdeyse ona gore degistirebilirsin bu cozumu.). Kac adim yukariya/asagiya gidecegim? Bitis noktasi baslangic noktasindan ne kadar yukarida/asagida ise. Bitis noktasi $(x_2,y_2)$ ve baslangic noktasi $(x_1, y_1)$ olsun. Demek ki yukariya gitmem gereken adim sayisi $y_2 - y_1$. Bu eger bitis noktasi yukarida, yani $y_2$, $y_1$'den buyukse gecerli. Aksi takdirde bu sayi negatif olur, ve negatif adim atmak mumkun degil. Bitis noktasi asagidaysa, atmam gereken adim sayisi $y_1 - y_2$ o halde. Bitis cizgisinin asagida ya da yukarida olmasina gore asagiya/yukariya atmam gereken adim sayisi $y_1 - y_2$ ya da $y_2 - y_1$ olacak. Ama bu mutlak deger fonksiyonu! Yani gitmen gereken adim sayisi $|y_2 - y_1|$. (Buna da kendini ikna et). Bu soylediklerimizin hepsi asagi/yukari icindi. Ama aynisini sag/sol dogrultusunda da yapabilirsin. Sag/sol yonunde gitmen gereken adim sayisi $|x_2 - x_1|$. Demek ki, toplam atman gereken adim sayisi $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$...  Ornegin $(0, 0)$ noktasindan $(1,2)$ noktasina giderken atman gereken adim sayisi $3$. $(1,1)$'den $(4,5)$'e giderken atman gereken adim sayisi da $7$. (Bu hesaplamalari anladigindan emin ol). Bir baska deyisle, $(1,2)$ ile $(0,0)$ arasindaki uzaklik $3$ ve $(1,1)$ ile $(4,5)$ arasindaki mesafe $7$.

Senin soruna geri donelim: $$| x - 1| + |y - (-1)| = 1$$ denklemini saglayan kac tane $(x,y)$ ikilisi vardir? Bu soruyu yukarida kurguladigimiz hikayenin diline cevirecek olursak su hale donusuyor: $(1, -1)$ ile arasindaki "kareli defter uzakligi" $1$ olan $(x,y)$ noktalari kac tanedir? Ya da $(1, -1)$ noktasindan baslarsam $1$ adimda kac tane noktaya gidebilirim? Her adimda yukariya, asagiya, saga, sola bir adim gidebiliyorum ve sadece bir adim atma hakkim var! Tabii ki $4$ yere gidebilirim! Yukariya bir adim gidersem $(1, 0)$'a varirim. Asagiya bir adim gidersem $(1, -2)$'ye varirim. Sola bir adim gidersem $(0, -1)$'e varirim. Saga bir adim gidersem $(2, -1)$'e varirim. Ama nereye vardigimin bir onemi yok! Dort tane oldugunu biliyorum. 

Baslangic noktamin ne oldugunun da onemi yok! Nereden baslarsam baslayayim, yalnizca bir adim atabiliyorsam, bir adim sonrasinda olabilecegim yer sayisi $4$. Yani soruyu

$$| x - 12563712653| + |y- 7263517635| = 1$$ denklemini vererek sorsaydi da sonuc yine $4$ olacakti!

Simdi sormamiz gereken soru ne? Eger $2$ adim hakkim olsa ne olur? Baslangic noktamin ne oldugu onemli olmadigi icin bu soruyu $$|x| + |y| = 2$$  denklemini saglayan $(x,y)$ ikilileri nelerdir diye sorabilirim. Sonra, $3$ icin sorarim. Sonra da genel olarak $|x| + |y| = n$ denklemini saglayanlari sorarim bir $n$ pozitif tam sayisi icin. Ondan sonra daha da ileri gidip bunu bir olasilik sorusuna da donusturebilirim.

Gordugun gibi sordugun basit bir matematik sorusu bircok yeni ve daha guzel soruya kapi aciyor. 

(2.5k puan) tarafından 

Teşekür ederim

Matematik mucize ötesi birşey

http://matkafasi.com/45846/internet-uzerinden-ders-video-serileri

Bu adresteki Turkce dersleri izle vakit buldukca. Ozellikle Salih Durhan'in dersini tavsiye ederim senin seviyen icin. Digerleri biraz fazla gelebilir. 

Matematik mucize otesi bir sey, evet. Onemli olan fikirler. Bunun icin de hem fikirlerini cok iyi anlatabiliyor olman, hem de baskalarinin fikirlerini rahat anlayabiliyor olman lazim. Bunun icin de bol bol oku ve yaz. Yazabildigin her sey hakkinda yaz. Guzel ve dogru cumleler yaz. Bu cok onemli bir yetenek. Ve yazdigin notlari sakla. Zaman gectikce ne kadar gelistigini gormek, "ulan gecen sene ne kadar da aptal seyler yazmisim" demek guzeldir. Dogru yolda oldugunu gosterir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

 a) $|x-1|=1,|y+1|=0$ iken sonuç sağlanır. $|x-1|=1\Rightarrow x=0,\quad x=2$ dir. $|y+1|=0\Rightarrow y=-1$ olmalıdır.

b) $|x-1|=0,|y+1|=1$ iken yine istenen sağlanır. $|x-1|=0\Rightarrow x=1$ dir. $|y+1|=1\Rightarrow y=0\quad y=-2$ olmalıdır. Ohalde $(x,y) $ tam sayı sıralı çifleri $(0,-1),(2,-1),(1,0),(1,-2)$ olacaktır.

(19.2k puan) tarafından 
20,248 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,142,430 kullanıcı