Question

bir izometrinin tersi de izometri midir?

Comments

Bazı metrik uzaylarda izometriler kendiliğinden örten olur. Soru bu mu?

Answer 1

$M_1=(X_1,d_1)$ ve $M_2=(X_2,d_2)$ metrik uzaylari olsun ve $\phi : \: M_1 \rightarrow M_2$ da bu ikisi arasinda isometry olsun.

1) Izometrinin tanimindan dolayi ($\phi$ birebir ve orten. O zaman) tum $a,b \in M_1$ icin $d_1(a,b)=d_2(\phi(a), \phi(b))$'dir.

2) birebir ve orten fonksiyonun tersi de birebir ve ortendir (bu en bariz cikarim)
O halde her $x,y\in M_2$ icin $\phi^{-1}(x)$ ve $\phi^{-1}(y)$ elemani $M_1$'de vardir.

Sonuc olarak da: 

$x,y \in M_2$ icin $d_1(\phi^{-1}(x),\phi^{-1}(y))=d_2(\phi(\phi^{-1}(x)), \phi\phi^{-1}(y))=d_2(x,y)$'dir.
Yani isometri olmak durumunda.

Comments

sozde-metrik uzaylari icin de dogru bu ispat.

---

A'dan B'ye bir izometri örten olmak zorunda değil. Karşı örnek: birim diskten düzleme. Yukarıdaki şunu kanıtlıyor: Bir izometrinin tersi varsa o da izometridir.

---

zaten soru tersi ile ilgili .s

---

Kanıttaki şu cümlenin yanlış olduğuna işaret etmek istemiştim: "Izometrinin tanimindan dolayi (ϕ birebir ve orten..." İzometrinin tanımından sadece 1-1'lik gelir.

---

parantez ici tanimdan gelmiyor, kalani tanimdan geliyor. ama haklisiniz, okuyunca parantez ici tanimdanmis gibi anlasiliyor.