$y,z$ oyle ki $y=zf(y)$ ve $f$ kuvvet serisi. Tum $g(y)$ fonksiyonlarinin $z$ cinsinden kuvvet serisi [kapalı]

Question

Elimizde $y,z$ olarak iki adet fonksiyon olsun. Bu ikisi arasinda da $y=zf(y)$ bagintisi olsun, $f$ fonksiyonumuz $y$ cisinden bir kuvvet serisi (power series). O halde tum $g(y)$ fonksiyonlarini $z$'nin bir kuvvet serisi olarak yazabiliriz ve o seri:

$g(y)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}\bigg( \big(f(y)^kg^{'}(y)\big)^{(k-1)}\bigg|_{y=0}\bigg)z^k$

serisidir. (Burda $^{(k-1)}$, $k-1$inci turevi.)


Ek:Burda ki tum'den kasit: surekli turevlenebilen tum.

Comments

Bunun isbâtını soruyorsun sanırım.

---

Evet. Aslinda bu arada arastirip buldum, ne oldugunu. Lagrance-Burmann formuluymus bu. Cok ise yarar bir formul bence. Eger daha onceden ispatini yapmis biri guzel bir sekilde eklerse iyi olur.

---

bu bildigimiz analitik fonksyionlarin guc serisi acilimi degil mi? ayni ispat biraz modifikasyonla calismiyor mu?

---

Emin degilim ama orda direk bi nokta icin seri yazmiyor muyuz?  Burda $y=zf(y)$ var. $z$'i $y-y_0$ olarak aliyor burasi..$y_0=0$ olarak dusunursek $f(y)=1$ yapar ve dedigin gibi olur. Bu arada bulmus oldum iliskiyi :) Ispati da zor degilmis, bir iki adim..