Question

$\mathbb{Z}$ halkasının maksimal idealleri nelerdir?

Answer 1

$\mathbb{Z}$ halkasinin tüm maksimal idealleri bir $p$ asalı için $p \mathbb{Z}$ biçiminde verilir.

1- $\mathbb{Z}$ halkasının herhangi bir $I$ ideali bir $n\in \mathbb{Z}$ için $I  = n \mathbb{Z}$ biçiminde verilir:

Bir $I\neq \{0\}$ idelini alın. Bu idealde pozitif elemanlar olmak zorundadır. O pozitif elemanların en küçüğüne $n$ diyelim. İdealin özelliklerinden dolayı $n\mathbb{Z} \subseteq I$. Dahası eşitlik de olmayana ergide kanıtlanabilir.

 

2- Eğer $n = ab$ ise, $n\mathbb{Z} \subseteq a \mathbb{Z}$ ve eğer $a \neq n$ ise eşitlik sağlanmaz. Demek ki eğer ideal maksimalse o zaman $n$ asaldır. Tersi de geçerlidir.