$x^{3}+mx-2m-8=0$denkleminin sadece 2 kökü eşittir.Buna göre,m'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Question

*36

Comments

turev biliyorsan eger tureviyle ortak kokunu inceleyebilirsin.

---

Biliyorum aslında ama devamı gelmedi açıkçası

---

2 kök aynıysa, bu kökler birinci türevi de 0 yapar.

$x^3+mx-2m-8=0 \Rightarrow (x^3+mx-2m-8)'=3x^2+m=0 \text{ olmalıdır.}$

Devamını siz getirin lütfen.

Answer 1

Türev bilmiyorsan şöyle de yapabilirsin. Tek dereceli bir polinom denklemin en az bir tane gerçel kökü vardır. Üçüncü dereceden bir denklemin köklerinden bir tanesi $b\neq 0$ olmak üzere $a+ib$ ise $a-ib$ karmaşık sayısının da söz konusu denklemin bir kökü olduğunu göstermek zor değil. Köklerden iki tanesi eşit dediğine göre buradan bütün köklerin gerçel olacağı sonucunu elde ederiz. O halde $a,b\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$x^3+mx-2m-8=(x-a)(x-b)^2=x^3+(-2b-a)x^2+(b^2+2ab)x-ab^2$$

$$\Rightarrow$$

$$-2b-a=0, \,\ b^2+2ab=m, \,\ -ab^2=-2m-8$$

$$\Rightarrow$$

$$a=-2b, \,\ b^2+2ab=m, \,\ ab^2=2m+8$$

$$\Rightarrow$$

$$-3b^2=m, \,\ -2b^3=2m+8$$

$$\Rightarrow$$

$$-2b^3=-6b^2+8$$

$$\Rightarrow$$

$$b^3-3b^2+4=0$$

$$\Rightarrow$$

$$(b+1)(b^2-4b+4)=0$$

$$\Rightarrow$$

$$(b+1)(b-2)^2=0$$

$$\Rightarrow$$

$$b=-1 \vee b=2$$

Buradan da $m$ değerleri kolayca hesaplanır.