Türevi sıfır olan kompleks fonksiyonun sabit oluşu

Question

Merhaba,

Serge Lang'ın "Complex Analysis" (1993) kitabı sf. 89'da Thm. 1.1.'in ispatında sondan 2.satırda "Hence, the function is constant" demiş, bu zaten ispatlamaya çalıştığımız şey değil mi?

Comments

Kitap elimde mevcut değil. Sayfayı resim çekip yollayın, inceleyelim.

---

Hence, Thus, So, Therefore... Zaten son asamada ispatin bittigi anda kullanilir.

---

ispata baktim, hence'i kullanma  amaci fonksiyonun sabit oldugunu bulmus olmasi.

---

İspatlamaya çalıştığımız şeyi kullanmış gibi geldi bana. Böyle bir şeyi koskoca Lang yapamaz tabii, neyi kaçırıyorum acaba? Birçok basamak atlanmış belki de.

---

Bence buraya soruyu ve yaptıklarını yaz, yardımcı olunur.

---

Başta Sercan haklı gibi gelmişti. Sonra kitaba bakınca Serpenche'nin haklı olduğunu, en azından bir açıklamaya ihtiyâç olduğunu gördüm.

İnternette küçük bir gezinme aynı sorunun daha önceleri sorulduğunu gösteriyor!

Sanırım ince nokta şurada: $t\mapsto \gamma(t)$ $\alpha$ ve $\beta$'yı birleştiren eğrinin reel bir parametrizasyonu -her ne kadar yazar direkt olarak söylemese de! Böylece $$\frac{df}{dt}=0$$ sonucu reel analizden bilinen bir gerçek olmuş oluyor.

---

Şu an soru ispatlanmak istenen neden hence... şeklinde yazılmış gibi. Ki bu ispatın bittigi anlama gelir. Elbet her yerde ek açıklama yapılabilir, bu nedenle Serpenche'nin nerede takıldığını bilmemiz gerekir. İngilizceye mi takıldı, matematiğe mi? Gerçi sonra da sadece ingilizce olmadığını belirtiyor. Aslında sadım adım buraya ispatı yazsa çok iyi olur. Hem pürüz kalkar, hem de siteye ispatı eklenmiş olur.

---

Kitaptaki ifadeler aşağıdaki gibidir:

Theorem 1.1 Let $U$ be a connected open set, and let $f$ be a holomorphic function on $U$. If $f'=0$ then $f$ is constant. 

Proof. Let $\alpha, \beta$ be two points in $U$, and suppose first that $\gamma$ is a curve joining $\alpha$ to $\beta$, so that $$\gamma(a)=\alpha \hspace{20px} \mbox{and} \hspace{20px} \gamma(b)=\beta.$$

The function $$t\mapsto f(\gamma(t))$$ is differentiable, and by the chain rule, its derivative is $$f'(\gamma(t))\gamma'(t)=0.$$ Hence this function is constant, and therefore $$f(\alpha)=f(\gamma(a))=f(\gamma(b))=f(\beta).$$ Next, suppose that $\gamma=\{\gamma_1, \dots, \gamma_n\}$ is a path joining $\alpha$ to $\beta$, and let $z_j$ be the end point of $\gamma_j$, putting $$z_0=\alpha \hspace{20px} \mbox{and} \hspace{20px} z_n=\beta.$$ By what we have just proved, we have $$f(\alpha)=f(z_0)=f(z_1)=f(z_2)=\dots =f(z_n)=f(\beta),$$ thereby proving the theorem. 

---

Çok özür dilerim ihmal ettiğim için. "This function" dan kasıt, bir önceki satırdaki fonksiyon. $f$'nin türevini açık bir şekilde yazdığımızda Cauchy Riemann eşitliğinden $f$'nin reel ve imajiner kısımlarının türevinin sabit olduğu çıkar ve ispat biter, öyle mi?