$\{5n+9m : n,m \in\mathbb{N} \}$ kümesinin elemanları hangi sayilardir ?

Question

{5n+9m : n,m eleman N } elemanları hangi sayilardir =?

Comments

İlginç bir konu. Bu (nümerik yarıgruplar) konuda bir tez var, orada daha fazla bilgi var.

http://acikerisim.dicle.edu.tr/xmlui/bitstream/handle/11468/1099/Arf%20say%C4%B1sal%20yar%C4%B1gruplar%C4%B1n%C4%B1n%20bir%20s%C4%B1n%C4%B1f%C4%B1.pdf?sequence=1&isAllowed=y

---

O tez çok karışık daha basit düzeyde çözemez miyiz 

---

Aslında (küçükten büyüğe) ilk 10-15 elemanını yazınca küme ortaya çıkıyor.

---

$2\cdot5+(-1)\cdot9=1$. Fakat kat sayilar pozitif olmali.  Eger $k \geq 1$ tam sayisi icin $2\cdot5+(k-1)\cdot9$'i hesaplarsak $9k+1$ yapar. $k \geq 2$ icin $4\cdot5+(k-2)\cdot9$ de $9k+2$ yapar. $\cdot$ ve $k \geq 0$ icin $9k$ da var, ayrica $k \geq 0$ icin $5k$ da var.

Answer 1

k tam sayı ve t pozitif tam sayı olmak üzere

9k  ,    k<=0

9k+5t,  k>0 , 

Comments

Burda $t$ negatif olabiliyor? Eğer $t$ pozitif ise sorunun ifadesini cevap olarak yazmışsınız. İkinci satırdaki de negatif, negatif sayı olabilir mi bu kümade?

Answer 2

Frobernius Madeni Para Problemi olarak bilinen teoreme göre $5n+9m$ formatında yazılamayan en büyük pozitif tam sayı $9\cdot 5 - 9 - 5 = 31$ dir. Yani $32$ ve daha büyük pozitif tam sayıları elde edebiliyoruz. Ayrıca $5n+9m$ formunda yazılamayan tam olarak $\dfrac{(9-1)(5-1)}{2}=16$ tane pozitif tam sayı vardır. Bu $16$ tane pozitif tam sayıyı kağıt kalemle bulursanız probleminiz çözülmüş olacak. Bunların kümesi $A$ olsun. $A= \{ 1, 2, 3, 4, 6, \dots 26, 31 \}$ kümesinin $\dots $ ile ifade edilen yazılmamış elemanlarını siz hesaplayınız. Böylece sorunun yanıtı $\mathbb N - A$ kümesi olur.

 

Comments

http://matkafasi.com/671/kisitli-oklit-algoritmasi-ile-ne-yapilabilir

 

Telefondan link veremedim.