Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi

$P$'nin kat sayilari nereden ve tanim araligi nedir acaba?

Sen bu soruların cevabını biliyor musun? (Yani düşünelim mi?)

Hocam diger ikisi neyse de, bu biraz zor gibi. (Zorluk:) Cunku bunun saglayani var. En azindan sabit fonksiyon kosuluyla bulunabiliyor. Ben biraz baktim epey var gibi.

Güzel sorular varmış..

Arada sirada matematik olimpiyatlari sorularina bakip begendiklerimi soruyorum, bu da onlardan bir soru. Yukarida linki verilmis zaten.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Linkteki cevabin cevrilmis hali:

$P(1)=a$ olsun. O halde $a^2-2a-2=0$ olur. Simdi $$P(x)=(x-1)P_1(x)+a$$ olarak yazalim, denklemde yerine koyup sadelestirdigimizde
$$(x-1)P_1(x)^2+2aP_1(x)=$(x+1)P_1(2x^2-1)$$
esitligini elde ederiz. $x=1$ icin
$$2aP_1(1)=8P_1(1)$$
ve yukaridaki ilk $a$ tanimimizda $a \neq 4$ oldugundan $P_1(1)=0$ olur. O halde 
$$P_1(x)=(x-1)P_2(x)$$
olarak yazalim. Yani
$$P(x)=(x-1)^2P_2(x)+a$$
olur. $P_2(x)$'in $(x-1)$ bolenlerini disariya atalim. O halde bir adet $Q(x)$ var ki $Q(1) \neq 0$ ve 
$$P(x)=(x-1)^nQ(x)+a$$
olur, bir $n$ dogal sayisi icin. Bunu denklemimize koyarsak
$$(x-1)^nQ_1(x)^2+2aQ(x)=2(2x+2)^nQ(2x^2-1)$$
esitliginden $Q(1)=0$ elde ederiz. Bu da bir celiski verir. O halde 
$$P(x)=a$$
olmalidir, oyle ki $a^2-2a-2=0$.
(25.5k puan) tarafından 
20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,517,311 kullanıcı