$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1} {x_{n}}$ = $\dfrac {1} {\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}}$ limit tanımına başvurarak kanıtlayın.

Question

Kanıt.

    $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$ olsun. O zaman, öyle bir $N_{1}$ doğal sayı var ki her $n\geq N_{1}$ için  

                                                       $\left| x_{n}-a\right|  < \varepsilon$

eşitsizliği sağlansın. 

      Şimdi, eğer $a>0$ için $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1} {x_{n}}$= $\dfrac {1} {a}$ ise öyle bir $N_{2}$ doğal sayısı olmalı ki $n \geq N_{2}$ için 

                                                       $\left| \dfrac {1} {x_{n}}-\dfrac {1} {a}\right| <\varepsilon$

 olsun. Yani, $\left| \dfrac {1} {x_{n}}-\dfrac {1} {a}\right|$ $=$ $\left| \dfrac {x_{n}-a} {x_{n} a}\right|$ $=$ $\dfrac {\left| x_{n}-a\right| } {a\left| x_{n}\right| }$ $<$  XXX???XXX 

Burada tıkandım.

Comments

Galiba buldum.      

                                       ........ $<$ $\dfrac {\left| x_{n}-a\right| } {\left| x_{n}\right| }$ $<$ $\left| x_{n}-a\right|$ $<$ $\varepsilon$

Ama peki $\left| x_{n}\right| =0$ ise, ne yapacağız? (Maalesef bulamadım.)

---

$\left| x_{n}\right| =0$ olamaz tabii!

---

O zaman kanıtta bir pürüz göremiyorum (?).

---

Limit 0,1'e gidiyorsa dediğin doğru olur mu?

---

(Paydadaki $|x_n|$ den kurtulmak için)Limiti sıfırdan farklı bir sayı olan dizilerin (bir terimden sonra) sıfırdan uzak kaldığını da (ispatı çok zor değil) kullanman gerekiyor.

---

Anladım, teşekkürler.

---

Ayrica Sercan'in dedigi gibi $$\frac{|x_n - a|}{|x_n|} < |x_n - a|$$ esitligi hep dogru olur mu?

---

Kesinlikle  hayır.$n>N_1$ iken $|x_n|>\frac{|a|}2$ olacak şekilde bir $N_1$ vardır(burada $a\neq0$ ı kullanıyoruz). O zaman (büyük $n$ için) $\frac{|x_n-a|}{|x_n|}<\frac2{|a|}|x_n-a|$ olur.