üçgende alanın en büyük değeri

Question

Hipotenüs uzunluğu sabit olan bir dik üçgenin alanının en büyük değerini alabilmesi için neden üçgenin ikiz kenar dik üçgen olması gerekir?

Answer 1

Hipotenüsü çap kabul eden bir çember çizelim, uç noktalarına $A,B$ merkeze $O$ diyelim. Tales in teoreminden, dik köşe bu çember üzerinde olacaktır. Üçgenin alanını hesaplamak için de hipotenüsü taban kabul edelim. Çapa inilen yüksekliğin en uzun olduğu (çember üzerindeki) nokta dik köşe olduğunda en büyük alanlı üçgen oluşacaktır. Yani diğer köşe çaptan en uzak olan  çember üzerindeki noktadır. Bu noktaya (birden çoksa herhangi birine) $P$ diyelim.$P$ den çapa bir paralel çizelim. Bu doğru,  çembere teğet olur(aksi halde çember üzerinde çapa daha uzak bir nokta var olurdu). $P$ deki yarıçap teğete dik olduğundan, çapa da dik olur. Öyleyse $POA$ ikizkenar dik üçgendir, bu nedenle $m(OAP)=45^{\circ}$ olur, bu açı, alanı en büyük olan $PAB$ dik üçgeninini bir dar açısıdır.

Answer 2

Soru sürekli cozdugumuz 

" $a+b=10$ ise 

$a.b$nin en büyük değeri kactir" dan farksizdir

Diklik;

$ALAN=(\frac 1 2 )ab sin(C)$ nin  En büyük değer 

$sin(C)$ nin en büyük değeri 1 dir bunu sağlayan açı $90 derece$ dir 

İkizkenar;

$a.b$ en büyük değerini $a$ ve $b$ nin en yakın değerleri için alır.

Bu sebeple hipotenüs uzunluğu sabit olan bir dik üçgenin alanının en büyük değerini alabilmesi için üçgenin ikiz kenar dik üçgen olması gerekir.