$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$ ile $\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a)=0$ önermelerin eşdeğerliğini limit tanımına başvurarak kanıtlayın.

Question

Kanıt. 

   i)  $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$ ise demek ki öyle bir $N$ doğal sayısı olmalıki her $n\geq N$ için

$\left| x_{n}-a\right|< \varepsilon$ eşitsizliği sağlansın.

 

  ii) $\left( y_{n}\right) _{n}$ = $\left( x_{n}\right) _{n}-a$ olsun o zaman demek ki öyle bir $N_{1}$ doğal sayısı olmalı ki her $n\geq N_{1}$ için $\left| y_{n}-0\right|  < \varepsilon$ olsun, yani $\left| y_{n}-0\right| =\left| y_{n}\right|=\left| x_{n}-a\right|< \varepsilon$ olur.

Soru: Kanıtta pürüz var mı, başka nasıl kanıtlayabiliriz?

Comments

$\lim\limits_{n \to \infty} x_n=a$ ise $\forall \epsilon >0$ için $\exists N(\epsilon ) \in \mathbb{N}$ , $\forall n\geq N(\epsilon )$ için $|x_n-a| < \epsilon$ dir.

Bu tanımın üzerinde şöyle oynayalım.

$\forall \epsilon >0$ için $\exists N(\epsilon ) \in \mathbb{N}$ , $\forall n\geq N(\epsilon )$ için $|x_n-a|=|(x_n-a)-0| < \epsilon$ (senin yaptığın gibi $x_n -a=y_n$ dersek)  $|y_n-0|< \epsilon$ olur. Bu da $\lim\limits_{n \to \infty} y_n=0~~\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty}x_n-a=0$ olur.

---

Teşekkürler.

Answer 1

$|x-a|=|(x-a)-0|$ oldugundan ayni $\epsilon$ icin ayni $N$'yi secebilirsin.

Comments

Tamam, teşekkürler.