Question

$\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-2}=0$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Answer 1

Çözüm aşağıdaki gibidir:

$\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-2}=0 \\ (x+2)^{\frac13}+(x-2)^{\frac13}=x^{\frac13} \\ x+2+x-2+3(x+2)^{\frac23}(x-2)^{\frac13}+3(x+2)^{\frac13}(x-2)^{\frac23}=x \\ 3(x+2)^{\frac13}(x-2)^{\frac13}((x+2)^{\frac13}+(x-2)^{\frac13})=-x \\ 3(x+2)^{\frac13}(x-2)^{\frac13}x^{\frac13}=-x \\ 27x(x^2-4)=-x^3 \\ x(28x^2-108)=0 \\ x=\{ -\sqrt{\frac{27}{7}},0,\sqrt{\frac{27}{7}} \}$

Answer 2

$\sqrt[3]{x}=a$ olsun. $\sqrt[3]{a^3-2}-a+\sqrt[3]{a^3+2}=0$ olacaktır. Bu denklemin bir kökü sıfırdır. Yani $a=0\rightarrow x_1=0$ olacaktır. Diğer köklerin; $\sqrt[3]{a^3-2}+\sqrt[3]{a^3+2}=a$ denkleminin çözümünden geleceğini düşünüyorum. Bu da bir hayli uzun ve zor gibi duruyor. Belki de sayın @funky2000 güzel bir çözüm biliyordur.

Comments

Metok hocam

2 kök daha olduğunu gördüm.

Bunları da bulabilir misiniz?

---

$\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{a^3-2}$ olmali degil mi? kokler unutulmus islemlerde.

---

Uyarınıza teşekkürler.Sizinde belirttiğiniz gibi diğer iki kök unutulmuş. Çözümü buna uygun hale getirdim.Ama diğer kökleri bulmak biraz güç gibi görünüyor.

---

Şu an için elimde cevap yok, ama Wolfram'da diğer iki kök toplamı $0$ görünüyor. Çözüm bulursam paylaşırım.

---

bu cikarim icin Wolfram'a gerek yok $u$ kok ise $-u$ da koktur.