Question

$\left| z^{i} \right| \lt e^{ \pi } $ olduğunu ispatlayın, tüm komplesk $z \not = 0$ için

Comments

$r \in \mathbb R$ icin $z=r^{-i}$ olsun. Bu durumda $z^i=r$ olur. Yani $f(z)=|z^i|$ fonksiyonu $\mathbb C^\times$'den $\mathbb R^+$ye orten bir fonksiyon.

---

göremedim çözümü

---

Ben olmadigini iddia ettim.

---

ama bazı koşullarda olur heralde

---

Evet olur da istenen ispat sifir olmayan her eleman ici degil mi?

---

doğru haklısın

---

Kompleks logaritma çok değerli olduğu için $z^i$ çok değerlidir. Soruda, özel bir $z^i$ değeri (esas değer) gözönüne alındığında, iddia doğru oluyor.

Answer 1

Bu soruda, yorumda da belirttiğim gibi, eksik bir varsayım var. $z^i$  nin sonsuz tane değeri vardır, bunlardan  bazıları, (biri esas değer olmak üzere) için  eşitsizlik  geçerli. Tüm değerler için geçerli değil.

$z^i=e^{i\log z}=e^{i(\ln|z|+i\arg z)}$ olarak tanımlanır ve $\arg z$ çok (sonsuz) değerlidir. 

$\arg z=\theta+2n\pi\ (n\in\mathbb{Z})$ Bunlardan $(-\pi,\pi]$ aralığında olana esas argüment denir ve $\textrm{Arg}\, z$ ile gösterilir. $\textrm{Log}\, z=\ln|z|+i\textrm{Arg}\, z$ ye de logaritmanın esas değeri denir. İddia, $z^i$ nin hesaplanmasında bu logaritma kullanılırsa doğru (aşağıda).(Bu değere de $z^i$ nin esas değeri denir) $z^i$ nin esas değeri için: ($z=e^{i\Theta},\ -\pi<\Theta\leq\pi$)

$$|z^i|=|e^{i\textrm{Log}\,z}|=|e^{i(\ln|z|+i\Theta)}=|e^{-\Theta+i\ln|z|}|=e^{-\Theta}<e^\pi$$

Tüm değerler bakıldığında

$$|z^i|=|e^{i\log z}|=|e^{i(\ln|z|+i(\Theta+2n\pi))}|=|e^{-\Theta-2n\pi+i\ln|z|}|=e^{-\Theta-2n\pi}$$olup sonsuz çoklukta $n$ için eşitsizlik yanlış olur.

Comments

teşekkürler. neden $|e^{iln|z|}|=1$ ? göremeidm.

---

$\ln|z|$ reel (gerçel) olduğu için.

Answer 2

$z=cos\theta +isin\theta=e^{i\theta}$ ve $|z|=|e^{i\theta}|$ olduğu için,

$z=cos\pi +isin\pi=e^{i\pi}$,    $ z^i=(cos\pi +isin\pi)^i=e^{-\pi}$ve $|z^i|=|e^{-\pi}|=|\frac{1}{e^\pi}|< e^\pi$ olur.

Comments

Hepsi için göstermek gerekir. Fakat burda bir tanesi için gösterilmiş?