Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (621 puan) tarafından  | 1.4k kez görüntülendi

$r \in \mathbb R$ icin $z=r^{-i}$ olsun. Bu durumda $z^i=r$ olur. Yani $f(z)=|z^i|$ fonksiyonu $\mathbb C^\times$'den $\mathbb R^+$ye orten bir fonksiyon.

göremedim çözümü

Ben olmadigini iddia ettim.

ama bazı koşullarda olur heralde

Evet olur da istenen ispat sifir olmayan her eleman ici degil mi?

doğru haklısın

Kompleks logaritma çok değerli olduğu için $z^i$ çok değerlidir. Soruda, özel bir $z^i$ değeri (esas değer) gözönüne alındığında, iddia doğru oluyor.

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soruda, yorumda da belirttiğim gibi, eksik bir varsayım var. $z^i$  nin sonsuz tane değeri vardır, bunlardan  bazıları, (biri esas değer olmak üzere) için  eşitsizlik  geçerli. Tüm değerler için geçerli değil.

$z^i=e^{i\log z}=e^{i(\ln|z|+i\arg z)}$ olarak tanımlanır ve $\arg z$ çok (sonsuz) değerlidir. 

$\arg z=\theta+2n\pi\ (n\in\mathbb{Z})$ Bunlardan $(-\pi,\pi]$ aralığında olana esas argüment denir ve $\textrm{Arg}\, z$ ile gösterilir. $\textrm{Log}\, z=\ln|z|+i\textrm{Arg}\, z$ ye de logaritmanın esas değeri denir. İddia, $z^i$ nin hesaplanmasında bu logaritma kullanılırsa doğru (aşağıda).(Bu değere de $z^i$ nin esas değeri denir) $z^i$ nin esas değeri için: ($z=e^{i\Theta},\ -\pi<\Theta\leq\pi$)

$$|z^i|=|e^{i\textrm{Log}\,z}|=|e^{i(\ln|z|+i\Theta)}=|e^{-\Theta+i\ln|z|}|=e^{-\Theta}<e^\pi$$

Tüm değerler bakıldığında

$$|z^i|=|e^{i\log z}|=|e^{i(\ln|z|+i(\Theta+2n\pi))}|=|e^{-\Theta-2n\pi+i\ln|z|}|=e^{-\Theta-2n\pi}$$olup sonsuz çoklukta $n$ için eşitsizlik yanlış olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
teşekkürler. neden $|e^{iln|z|}|=1$ ? göremeidm.

$\ln|z|$ reel (gerçel) olduğu için.

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$z=cos\theta +isin\theta=e^{i\theta}$ ve $|z|=|e^{i\theta}|$ olduğu için,

$z=cos\pi +isin\pi=e^{i\pi}$,    $ z^i=(cos\pi +isin\pi)^i=e^{-\pi}$ve $|z^i|=|e^{-\pi}|=|\frac{1}{e^\pi}|< e^\pi$ olur.



(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Hepsi için göstermek gerekir. Fakat burda bir tanesi için gösterilmiş?

20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,329 kullanıcı