Kuaterniyonlarda $x^2 +1 = 0$ Denkleminin Cozumleri

Question

Ilgili cevapta kuaterniyon halkasinda $x^2 + 1 = 0$ denkleminin sonsuz sayida cozumu oldugu soylenmis. Bu cozumler nelerdir? Bu cozumlerin geometrik bir anlami var midir?

Answer 1

İlgili sorudaki tanımlar kullanılırsa $x^2+1=0$ denkleminden $$ad=0\\bd=0\\cd=0\\a^2+b^2+c^2+d^2=1$$ denklem sistemi elde edilir. $d=0$ ve $a^2+b^2+c^2=1$ bir çözümdür. Görüldüğü üzere burada $d=0$ alınırsa, $(a,b,c)$ üçlüsü birim küre üzerindeki noktaların kümesini verir ki sayıları sonsuzdur. Bunu $$Ç=\{(a,b,c,0): a^2+b^2+c^2=1\}$$ şeklinde gösterebiliriz. 

$d\not=0$ ise o hâlde $a=b=c=0$ ve $d=\pm1$ olmalıdır: $(0,0,0,\pm1)$ Bunların sayısı ise görüldüğü gibi sonludur. 

Bulduğum çözümler bunlar. $d=0$ ve $d\not =0$ dışındaki durumlar baştaki denklemleri sağlamazlar.