Az önce tamamladığım kanıtın eksik bir yanı var mı Doğan Hocam?
ε>0 verilmiş olsun. Dizinin Cauchy dizisi olduğunu göstereceğiz. n,m ve N göstergeçleri için m>n>N olsun.
xm−xn <ε
olduğunu göstermeliyiz.Başlayalım:
xm−xn = 11s+...+1ms−11s−...−1ns=1(n+1)s+...+1ms
olur.
1(n+1)s+...+1ms ≤ 1(n+1)s + . . . + 1(n+1)s=(m−n)1(n+1)s
Ve,
limn→∞[(m−n)1(n+1)s] = 0 < ε
Yani, Hn Cauchy dir. Yani yakınsaktır.