Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
3k kez görüntülendi
s>1 ve sQ olsun.Hn=11s+12s+...+1ns olsun. (Hn)n dizisinin limitinin var ve sonlu bir sayıya eşit olduğunu kanıtlayın. 
Lisans Matematik kategorisinde (691 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 3k kez görüntülendi

ζ(s) ve s>1 kosulu yeterli. 

Analiz çalışıyorum, reel üs almayı tanımlamadık henüz. Ondan sQ dedim. sR kanıtlasanız daha güzel olur tabii

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

(Hn) dizisinin artan olduğu aşikar, sınırlı olduğunu göstermek yeterlidir.

n=2m1 olsun.

Hn=11s+(12s+13s)+(14s++17s)+(18s++1(15)s)++(1(2m1)s++1(2m1)s) olup

Hn11s+212s+414s++(2m1)1(2m1)s olur. Buradan

Hn1+12s1+14s1+18s1++1(2m1)s1

Hn1+12s1+(12s1)2++(12s1)m1<1112s1 elde edilir. Gerisini (diğer n değerleri için de doğru olduğunu) sen tamamlayabilirsin. Daha sonra, artan sınırlı dizilerin yakınsaklığı teoremi (http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir?show=20940#q20940) , ispatı (her sR, s>1 için)  tamamlar.

Bir soru: s>1 olduğunu nerde kullandık?

(6.2k puan) tarafından 

s doğal olarak >1 oldu. Çünkü s<1 elde ettiğimiz geometrik seri ıraksak olur, HnGeometrikseri eşitsizliğinden bir şey elde edemeyiz.

Az önce tamamladığım kanıtın eksik bir yanı var mı Doğan Hocam?

ε>0 verilmiş olsun. Dizinin Cauchy dizisi olduğunu göstereceğiz. n,m ve N göstergeçleri için m>n>N olsun.

                                        xmxn <ε 

olduğunu göstermeliyiz.Başlayalım:

xmxn = 11s+...+1ms11s...1ns=1(n+1)s+...+1ms

olur.

1(n+1)s+...+1ms  1(n+1)s + . . . + 1(n+1)s=(mn)1(n+1)s

Ve,

limn[(mn)1(n+1)s] = 0 < ε

Yani, Hn Cauchy dir. Yani yakınsaktır.

Dizinin Cauchy dizisi olduğunu değil, artan ve sınırlı olduğunu gösterdik.

Bu dizi 1ns sonsuz serisinin kısmi toplamlar dizisidir. 1np serisine p -serisi denir. (p=1 iken harmonik seri denir) p=2 için toplamı bulma problemi (Jacob Bernoulli nin yaşadığı şehre atfen) Basel Poblemi olarak bilinir.

Çift p'ler için bir reel sayıya yakınsak olduğu gösterildi. Tek p'ler içinse dizi hakkında pek bir şey bilinmiyor sanıyorum.

Cevapta (aslında 1700 lerde Jacob Benoulli tarafından)  HER pR, p>1 için yakınsak olduğu gösterildi. Euler çift tamsayılar için toplamını buldu. Tek tamsayılarda toplam (sanırım) bilinmiyor

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Cevapta H yerine S ve s yerine p yazili...


Ilk olarak Sk=kn=11np olarak tanimlayalim. Bu durmda  S2k+1=2k+1n=11np=1+ki=1(1(2i)p+1(2i+1)p)<1+ki=12(2i)p=1+21pSk<1+21pS2k+1 olur ve esitsizligi duzenlersek S2k+1<1121p elde ederiz. Sk<S2k+1 oldugundan her k>1 tam sayisi icin Sk<1121p olur.


Pozitif terimli {Sk}k1 dizisi artan (bu cikarim basit) ve ustten sinirli oldugundan (bunu da yukarida gosterdik) monoton yakinsaklik teoremi geregi dizimiz yakinsar. Bu nedenle bu dizinin limiti olan limkSk=n=11np yakinsar.

(25.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,299 soru
21,844 cevap
73,549 yorum
2,756,439 kullanıcı