Question

Öyle $f,g\in Fonk(X, \mathbb{R}) \setminus \{0 \}$ bulun ki $~~~fg=0~~$ olsun. Böyle $f$ ve $g$ olması için $X$ in en az iki elemanı olması gerektiğini kanıtlayın.

($Fonk(X, \mathbb{R})$ kümesi, bir $X$ kümesinden $\mathbb{R}$ ye giden fonksiyonlar kümesidir.)

Answer 1

$X$ tek elemanli olsun diyelim, hatta $X=\{a\}$ olarak yazalim. O zaman $f(a)\ne0$ ve $g(a)\ne 0$ olur cunku sifir fonksiyonu olmasin denmis. Bu durumda $fg(a)\ne0$ olur, cunku $\mathbb R$ tamlik bolgesi. Yani istenildigi bir fonksiyon ikilisi elde edemeyiz.

Comments

$f$ ve $g$ parcali fonksiyonlar olamazlar mi? Mesela ;

Bir $A\subset X$ icin

$f(x)= \bigg\{  \begin{array}{ll} 1~~,  x\in A  \\ 0~~, x\notin A \end{array} \bigg\}$  , $g(x)= \bigg\{ \begin{array}{ll} 0~~, x\in A \\ 1~~, x\notin A \end{array} \bigg\}$

Yani demek istedigim sonucta ikisi de $X$ kumesi uzerinde sifir fonksiyonu degil.. yanlis da dusunuyor olabilirim..

---

Eğer iki ve daha fazla eleman varsa evet. Fakat tek eleman olduğunda bu fonksiyonları yazamayız. Tek eleman iken $g=0$ olur.

---

Soruda da istenen bu değil mi zaten anlamadım ben.. Böyle $f$ ve $g$ lerin olması için en az iki eleman olması gerektiğini gösteriniz diyor..

---

En az iki eleman.. Yani tek eleman olmayacagini gostermemiz yeterli degil mi? Ben bunu gosterdim. Sen de iki ve daha fazla eleman oldugu zaman olabilecegini gostermissin. Fakat bu bir elemanli oldugunda olmayacagi anlamina gelmez. 

---

Anladım. Teşekkürler.