Düzgün Süreklilik-II

Question

Düzgün sürekli iki fonksiyonun çarpımı düzgün sürekli olmak zorunda mıdır? Cevabınızı kanıtlayınız.

Comments

Degildir.. $f(x)=x$ ve $g(x)=x$ alinirsa. $f(x)$ in duzgun surekliligi kolay is. $h(x)=f(x)g(x)=x^2$.

$h(x)$ in duzgun sureklil olmadigini gostermek icin dizi secilebilir..

---

Murad hocam, sürekliliğin ve düzgün sürekliliğin tanımını vermeniz mümkün mü acaba?

---

Şöyle sayın hocam:

Tanım (Noktasal Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f:A \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A$ olmak üzere

$$f, a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$ (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$$$

Tanım (Yaygın (Global) Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f:A \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, (A\text{'da}) \text{ sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(f, a\text{'da sürekli})$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$$$

Tanım (Düzgün Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f:A \longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, (A\text{'da}) \text{ düzgün sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall a\in A)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$$$

Bu tanımlardan sonra şu açıklamaları da yapmakta fayda var diye düşünüyorum.

Bilindiği üzere önerme elde etmenin bir yolu bir açık önermedeki değişkenlerin önüne niceleyiciler getirmek ile mümkün. Açık önerme diye içinde en az bir değişken bulunan ve değişkenin yerine gelebilecek nesnelere göre doğru ya da yanlış olan ifadelere diyoruz ve bunları tek değişkenli ise $p(x),q(x),r(x),\ldots$ ile; iki değişkenli ise $p(x,y),q(x,y),r(x,y),\ldots$ ile; üç değişkenli ise $p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z),\ldots$ vs ile gösteriyoruz. Bir açık önermedeki değişkenlerin yerine geldiğinde anlamlı bir ifade elde ediyorsak bu tür nesnelerin oluşturduğu topluluğa açık önermenin konu evreni diyoruz. Mesela $$p(x):x^2-1=0$$ açık önermesinin konu evreni sayılar;

$$q(x): x, \text{Türkiye'de akarsu}$$ açık önermesinin konu evreni ise akarsulardır.

Yukarıdaki $p(x)$ açık önermesindeki değişkenin önüne niceleyiciler getirelim.

$$(\forall x\in\mathbb{R})(x^2-1=0)$$

"Her $x$ gerçel sayısı için $x^2-1=0$'dır" diye okunan bu ifade bir önermedir ve doğruluk değeri $0$'dır. Şimdi de $$p(x,y):x+y=0$$

iki değişkenli açık önermesini ele alalım ve bu açık önermedeki değişkenleri önüne niceleyiciler getirerek şu önermeleri elde edelim.

$$(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})(x+y=0)\ldots (1)$$

ve

$$(\exists y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R})(x+y=0)\ldots (2)$$

Burada dikkat edilirse $(1)$ nolu önerme doğru olmasına karşın $(2)$ nolu önerme yanlıştır. Demek ki evrensel niceleyici ile varlıksal niceleyicilerin sırasını değiştirmek anlamı değiştiriyor. $(1)$ nolu önerme 

"Her $x$ gerçel sayısı için öyle bir $y$ gerçel sayısı vardır ki $x+y=0$'dır" diyor. Mesela $x=5$ ise $y=-5$, $x=-\frac12$ ise $y=\frac12$ alırız vs. Burada dikkat edilmesi gereken husus $x$ değiştikçe $y$ sayısının da değişiyor olması. Demek ki varlıksal niceleyicinin sağındaki değişken bunların sol tarafında bulunan evrensel niceleyicinin sağındaki değişkene bağlı.

Tüm bu açıklamalar ve yukarıda vermiş olduğumuz tanımların ışığında şunları söyleyebiliriz: Süreklilik tanımına tekrar bakacak olursak tanımında geçen $\delta$ sayısı hem $a$ noktasına hem de $\epsilon$ sayısına bağlı. Düzgün süreklilik tanımına bakarsak söz konusu $\delta$ sayısı sadece $\epsilon$ sayısına bağlı. Bir de düzgün süreklilik kavramının global bir kavram olduğunu görüyoruz. Sanırım bunlar yeterli olacaktır.

Bu kadar açıklamanın üzerine şunu da belirteyim:

$$|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon$$

ifadesini $p(a,\epsilon , \delta ,x)$ gibi $4$ değişkenli bir açık önerme olarak düşünürsek bir fonksiyonun sürekli olması $p(a,\epsilon , \delta ,x)$ açık önermesindeki değişkenlerin belirli bir sırada nicelenmesi ile elde edilen 

$$(\forall a\in A)(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

önermesinin doğru olması anlamına geliyor.

---

Hocam emeğinize, yüreğinize ve duyarlılığınıza sağlık. Çok teşekkürler.

Answer 1

$$h(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$h:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonunun düzgün sürekli olmadığını da ben ispatlayayım. Önce bir tanımları hatırlayalım.

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f,\,\ (A \text{'da}) \,\ \text{düzgün sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow $$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(\forall y\in A)(\mid x-y \mid <\delta \rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid <\epsilon)$$

$$$$

$$f,\,\ (A \text{'da}) \,\ \text{düzgün sürekli değil}$$

$$:\Leftrightarrow $$

$$(\exists \epsilon >0)(\forall \delta >0)(\exists x\in A)(\exists y\in A)(\mid x-y \mid <\delta \,\ \wedge \mid f(x)-f(y)\mid \geq \epsilon)...(*)$$

$$$$

O halde $h(x)=x^2$ kuralı ile verilen $h:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu için $\epsilon=1$ olmak üzere $\delta>0$ sayısı ne olursa olsun $x=\frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}\in \mathbb{R}$, $y=\frac{1}{\delta}\in \mathbb{R}$ alınırsa 

$$\mid x-y \mid = \Big{|} \frac{1}{\delta}+\frac{\delta}{2}-\frac{1}{\delta} \Big{|} =\frac{\delta}{2}<\delta $$

ve

$$\mid f(x)-f(y) \mid = \Big{|} \frac{1}{\delta^2}+1+\frac{\delta^2}{4} - \frac{1}{\delta^2} \Big{|} = 1+\frac{\delta^2}{4} \geq1$$

yani (*) önermesi doğru yani $h$ fonksiyonu $\mathbb{R}$ üzerinde düzgün sürekli değildir.