Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
3k kez görüntülendi

Gosteriniz: usten (alttan) sinirli  ve artan (azalan) bir dizinin limiti vardir. 

Bu kosullardan biri eksik oldugunda limitin var olmadigi ornekler veriniz.

bir cevap ile ilgili: Limit
Lisans Matematik kategorisinde (25.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3k kez görüntülendi

Monoton yakınsaklık teoremi değil miydi bu?

Evet.           

Çalıştığımız topolojik uzayın tamlık koşulu olmazsa doğru değil, ama sanırım otomatik olarak gerçel sayılarda çalştığımızı varsaydın :)

Evet gercel sayilar. Tamlik ya da en azindan dizinin supremumunu icermesi sart.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$(a_n)$ artan ve üstten sınırlı bir dizi olsun.

$A=\{a_n: n\in\mathbb{N} \}$ olsun ($A$; boş olmayan (niye?) üstten sınırlı (niye?) bir kümedir. $\mathbb{R}$ nin tamlığından bir en küçük üst sınırı (supremumu) vardır.) $L=\sup A$ diyelim ve $\lim (a_n)=L$ olduğunu gösterelim.

$\varepsilon>0$ verilsin. $L-\varepsilon$ dizi için bir üst sınır olmadığı için (neden?) $a_N>L-\varepsilon$ olacak şekilde bir $N\in\mathbb{N}$ vardır. Şimdi $n\geq N$ ise $a_n\geq a_N$ olur (neden?) Buradan:

$a_N\leq a_n<L$ ve $a_N>L-\varepsilon$ eşitsizliklerinden

$|a_n-L|<\varepsilon$ elde edilir.  (Siz gösterin)

(6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
19,906 soru
21,550 cevap
72,543 yorum
750,157 kullanıcı