Üstten sınırlı ve artan bir dizinin limiti vardır.

Question

Gosteriniz: usten (alttan) sinirli  ve artan (azalan) bir dizinin limiti vardir. 

Bu kosullardan biri eksik oldugunda limitin var olmadigi ornekler veriniz.

Comments

Monoton yakınsaklık teoremi değil miydi bu?

---

Evet.           

---

Çalıştığımız topolojik uzayın tamlık koşulu olmazsa doğru değil, ama sanırım otomatik olarak gerçel sayılarda çalştığımızı varsaydın :)

---

Evet gercel sayilar. Tamlik ya da en azindan dizinin supremumunu icermesi sart.

Answer 1

$(a_n)$ artan ve üstten sınırlı bir dizi olsun.

$A=\{a_n: n\in\mathbb{N} \}$ olsun ($A$; boş olmayan (niye?) üstten sınırlı (niye?) bir kümedir. $\mathbb{R}$ nin tamlığından bir en küçük üst sınırı (supremumu) vardır.) $L=\sup A$ diyelim ve $\lim (a_n)=L$ olduğunu gösterelim.

$\varepsilon>0$ verilsin. $L-\varepsilon$ dizi için bir üst sınır olmadığı için (neden?) $a_N>L-\varepsilon$ olacak şekilde bir $N\in\mathbb{N}$ vardır. Şimdi $n\geq N$ ise $a_n\geq a_N$ olur (neden?) Buradan:

$a_N\leq a_n<L$ ve $a_N>L-\varepsilon$ eşitsizliklerinden

$|a_n-L|<\varepsilon$ elde edilir.  (Siz gösterin)