$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+.....}}}}$ bu dizinin limiti var mıdır?

Question

Var olduğunu ve limitin $u$ olduğunu kabul edelim.(limitin biricikliğinden $u$ bir ve birtek olmalıdır.)

$$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+.....}}}}=u$$

Daha sonra, geleneksek yaklaşımdan dolayı;

$$\sqrt{a+\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+.....}}}}_{u}}=u$$   dolayısıyla;

$$\sqrt{a+u}=u\quad\to\quad 0=u^2-u-a$$ dolayısıyla $u$'nun 2 kökü var, şöyle ki;

$$u_{(1,2)}=\dfrac{1\pm \sqrt{1+4a}}{2}$$



SORU :

Hani limit biricikti? O zaman bu dizinin limiti yok mudur? Var mıdır? Belli koşullar sağlanırsa limiti olur mu? Ve en önemlisi bu yaptığımız geleneksel taktik yanlış değil mi?

Comments

$$a=?$$ ve dizinin ilk üç terimini yazabilir misin?

---

$(f_n)_n$ dersek diziye,

$f_1=\sqrt a$

$f_2=\sqrt{a+\sqrt a}$ 

$f_3=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt a}}$

$f_{n+1}=\sqrt{a+f_{n}}$


$a$'nın ne olduguna göre bu $u$'nun 2 tane olması değişiyor mu? ($a$ tanımlı oldugu sürece ve  kök içinde tanımsızlık yaratmadığı sürece)

---

Yaptığın şey "limit varsa bu eşitliği sağlar" diyor. Limit hala biricik, o iki değerden bir tanesi. 

---

Bu arada, limitin var olduğunu (yani dizimizin yakınsak olduğunu) gösterme kısmını unutmayalım.

---

Burada benzer bir şey tartışmıştik.

---

@Ozgur hangısı? $(-1)^n$ dizisi gibi $1$ ve $-1$ yani $u_1$ ve $u_2$ oluyorsa? Dolayısıyla lımıtı nasıl bulabılecegız?

@DoganDonmez, hocam aynen hatta dızının genel terımını, başka bir terimi bulacak şekilde revize edebilir miyiz?

---

@Anil Cevabının ilk cümlesi "Var olduğunu kabul edelim. $(-1)^n$ dizisinin limiti olmadığını biliyoruz. Dolayısıyla limiti bulamayacağız. 

O şeye $u$ dediğin anda limitin varlığını kabul etmiş oluyorsun. Sonrasında yaptığın cebirsel manipülasyonlar da sana limitin ne olabileceği hakkında bir fikir veriyor. 

Senin yaptığın şey şunu söylüyor: "Bu dizinin limiti şu denklemin bir köküdür.". Şunu söylemiyor: "Şu denklemin bütün kökleri, bu dizinin limitidir."

Answer 1

Anıl hocam

En son bulduğunuz

$u_{(1,2)}=\dfrac{1\pm \sqrt{1+4a}}{2} $

ya göre iki kök var.fakat dikkat ederseniz,

$u^2-u-a=0 $ denkleminin kökleri $u_1 $ ve $u_2 $ ise

$u_1.u_2<0 $ olacağından kök ifadesinin tanımı gereği pozitif olanı almak zorunda değil miyiz? Yani limit hala tek ve biricik değil mi?

Comments

$-a=u_1u_2$ ama a negatıvse de kök içi saglanmıyor mu?


$a$ negativ ise $u$, $a$ dan büyük olmalı ise hala tanımlılık saglanıyor sanırım, oyuzden pek emın olamadım.

dizinin genel terimini, başka bir $f_i$ için bulabilicek şekilde yazabilirsek, hem yakınsaklıgı hem de limiti kolaycana bulabılırız gibi, $a$ negativ olma durumu sözkonusu mu sizce de?

---

Hocam hangi cümlede çalışıyoruz? Benim de kafam karıştı şimdi.bence yöntem üzerinde yoğunlaşmalıyız.

Bir de hocam a hangi durumda negatif olacak?Çok genel bir halini konuşuyoruz sanırım.

---

a>0 icin bu cozum dogru hocam, negatifkenki durumu da eklerim, tesekkurler.

---

Tesekkurler hocam.a<0 merak ediyorum