Benim sevdigim kanit daha analitik/geometrik. Ustelik biraz eliptik egrilere de goz kirpiyor. Ilk gozlem su:
(u,v,w) uclusu bir pisagor uclusu olmasi
(uw,vw) ikilisinin duzlemde birim cember uzerinde olmasina denk. Yani, eger duzlemde merkezi orjin yaricapi bir olan cemberi
S ile gosterirsek bir onceki denklik soyle yazilabilir:
u2+v2=w2⇔(uw,vw)∈S.
Yani cember uzerindeki her rasyonel koordinatli nokta bir Pisagor uclusu veriyor, her Pisagor uclusu de cember uzerinde koordinatlari rasyonel olan bir nokta veriyor. Simdi
P=(−1,0) noktasini ele alalim. Bu nokta acik ki
S cemberi uzerinde. Bu noktadan gecen dogrularin
S cemberini kestigi noktalara bakacagiz.
P noktasindan gectigi bilinen bir dogruyu belirleyen sey bu dogrunun egimi oldugu icin bu noktadan gecen dogrularin hepsi
lθ=P noktasindan gecen, egimi θ olan dogru ={(x,θx+θ):x∈R}
bicimindedir. Simdi sunu ispatlayacagiz:
lθ∩S rasyonel bir noktadir ancak ve ancak
θ∈Q. Ancak bunu ispatlamak zor degil.