Question

$[0,1]\times [0,1]$ kümesinden alınan herhangi bir noktanın koordinatları toplamının $1$ olma olasılığı nedir?

Bir soru ile ilgili: http://matkafasi.com/19989/belirttigi-bolgeden-noktanin-kordinatlari-toplaminin-olasiligi

Answer 1

Çizgi alan belirtmez. Bunun için belirli çizgiyi $(1,0)$ noktasından saat yönünün tersine $45^o$ çevirirsek $y=0$ dogrusu üzerinde $\sqrt2$ uzunluğunda bir çizgi elde ederiz. Bunun integerali de $\sqrt2\cdot 0=0$ yapar. Toplam alanımız da $1$. Cevap $\frac 01=0$.

Comments

Sezgilerim "$0$ olmamalı" diyor.

---

Sezgiler $0.\bar9$'un da $1$ olmadigini soyleyebiliyor.

---

Haklısınız. Sezgiler insanı yanıltabiliyor. Ama matematik yaparken sezgilerimizden de çok faydalanıyoruz. Önce bir şeyi seziyor sonra da ispatlamaya çalışıyoruz. Tabii bazen sezdiğimiz şey yanlış da olabiliyor.

Answer 2

Her ne kadar aşağıdaki cevap beni tatmin etmesede içerme dışarlama prensibi (aksiyoml 3 ile kanıtlanabilir) ile

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ olduğunu biliyoruz P(A) seçilen noktanın koordinatları toplamı 1 ve 1  den küçük; P(B) seçilen noktanın koordinatları 1 ve 1 den büyük; $P(A\cap B)$ ise seçilen noktanın koordinatları toplamı 1 olsun $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$  ve $P(A\cup B)=1$ olduğuna göre aranan cevap 0 dır.

ama yinede Aksiyom 2 örneklem uzayın olasılığının 1 olduğunu söylüyor. boş kümenin olasılğının 0 olduğunu bu aksiyomu kullanarak çıkarıyoruz. şimdi esas problem şu istenen kümenin boş olmadğı belli hatta daha da önemlisi örneklem uzayın içerisinde doğal olarak O olmaması gerekir ama...

Comments

Asıl sorun da tam burada .Yukarıda, sorunun altında verilen linkteki sorunu yorumları incelendiğinde, sorunun koynağının doğru parçasının alan yönünden sıfır sayılmasında. Oysa durum bence hiç te öyle değil. Çünkü böyle bir kabul (doğru ya da parçasının alansızlığı) bir çok soruna neden olmaktadır. Hatta noktanın bile bir alana sahip olduğunu düşünmek bence önemli ve tartışılmalıdır. Bizler noktada limit, noktada süreklilik, noktada türevi düşünüyoruz ama alanı,hacmi düşünmüyoruz yanda göz ardı ediyoruz. Bence asıl sorun burada 

---

Belli bir aralıktaki çizgisel eğrinin alanının sıfır olması bir kabul değil ki. Limitle ispatlanabilen bir durum..