İntegral

Question

$$\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{\ln x}{(1+8x^2)\sqrt{1-x^2}}dx=?$$

Comments

Paydadaki $(1+8x^2)$ işi zorlaştırıyor.

---

Şaka @bertan88: sana az bile! :D  

Answer 1

Uzun uğraşlar sonucu cevabı buldum.

İntegralimiz :

$$\int_0^1\:\frac{\ln(x)}{(1+8x^2)\sqrt{1-x^2}}\:dx$$

İntegerali kısmi türev ile yazabiliriz.

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\int_0^1\:\frac{x^s}{(1+8x^2)\sqrt{1-x^2}}\:dx$$

$u=1-x^2$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{2}\int_0^1\:u^{-\frac{1}{2}}\:(1-u)^{\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}(9-8u)^{-1}\:du$$

$(9-8u)^{-1}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{18}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\int_0^1\:u^{k-\frac{1}{2}}\:(1-u)^{\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}\:du$$

İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{18}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\:B\Big(k+\frac{1}{2},\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\Big)$$

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{18}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\:\frac{\Gamma(k+\frac{1}{2})\Gamma(\frac{s}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{s}{2}+k+1)}$$

Türevi alalım ve $s$ yerine $0$ verelim.

$$\frac{\sqrt{\pi}}{36}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\:\Gamma\Big(k+\frac{1}{2}\Big)\Bigg[\frac{\psi(\frac{1}{2})-\psi(k+1)}{\Gamma(k+1)}\Bigg]$$

Toplam sembollü ifade $-12\sqrt{\pi}\ln(2)$ ' ye eşit.(Ayrıca soru olarak soruyorum)

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\:\frac{\ln(x)}{(1+8x^2)\sqrt{1-x^2}}\:dx=-\frac{\pi\ln(2)}{3}\approx-0.725862}}$$