Uzun uğraşlar sonucu cevabı buldum.
İntegralimiz :
∫10ln(x)(1+8x2)√1−x2dx
İntegerali kısmi türev ile yazabiliriz.
lims→0∂∂s∫10xs(1+8x2)√1−x2dx
u=1−x2 olacak şekilde değişken değiştirelim.
lims→0∂∂s12∫10u−12(1−u)s2−12(9−8u)−1du
(9−8u)−1 ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.
lims→0∂∂s118∞∑k=0(89)k∫10uk−12(1−u)s2−12du
İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazabiliriz.
lims→0∂∂s118∞∑k=0(89)kB(k+12,s2+12)
lims→0∂∂s118∞∑k=0(89)kΓ(k+12)Γ(s2+12)Γ(s2+k+1)
Türevi alalım ve s yerine 0 verelim.
√π36∞∑k=0(89)kΓ(k+12)[ψ(12)−ψ(k+1)Γ(k+1)]
Toplam sembollü ifade −12√πln(2) ' ye eşit.(Ayrıca soru olarak soruyorum)
∫10ln(x)(1+8x2)√1−x2dx=−πln(2)3≈−0.725862