Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
402 kez görüntülendi
$n$ boyutlu $V$ vektor uzayinin bazi $e_i=\{e^xx^i\}$ olsun.

Bu uzaydan rastgele bir eleman alalim

$f = \sum_{i=1}^n a_i e^xx^i$

sansa bakin ki bu elemanin turevi de bu uzayda yasiyor

$\frac{d}{dx}f = \sum_{i=1}^n a_i e^x(x^i + ix^{i-1})$

Turevin lineer oldugunu hatirlayip bu uzayda turevi matriks olarak ifade edelim.

$\fbox{$\frac{d}{dx}$}_{\text{  }i,i} = 1$

$\fbox{$\frac{d}{dx}$}_{\text{  }i,i+1} = i$

geriye kalan butun girdiler ise sifir.

Ilginc bir durum var, bu matriks tersinebilir!

$\fbox{$\int dx$} \stackrel{?}{=}  \fbox{$\frac{d}{dx}$}^{\text{ }-1}$

Belki de yukaridaki ifade dogrudur?

Denemek adina $\int dx \text{ }x^3e^x $ ifadesini hesaplayalim

$\fbox{$\frac{d}{dx}$} = \left[
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]$

$\fbox{$\int dx$} = \left[
\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 2 & -6 \\
0 & 1 & -2 & 6 \\
0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
$

 

$\int dx \text{ }x^3e^x = \left[
\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 2 & -6 \\
0 & 1 & -2 & 6 \\
0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] \left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{c}
-6 \\
6 \\
-3 \\
1 \\
\end{array}
\right] = -6 e^x + 6xe^x - 3x^2e^x+x^3e^x
$

Ise yaramis gibi gorunuyor ama sanki bir $+c$ vardi o nereye gitti ?

Hep ise yarar mi?

Boyle baska fonksiyon aileleri verebilir misiniz ?
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 402 kez görüntülendi

Bu uzaydaki genel "integral" matriksi
https://oeis.org/A008279

su dizinin isaretlerinin alterne eden versiyonu

 

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Bir pozitif $n\in\mathbb{N}$ için:

$V=\{e^x\sum_{i=0}^na_ix^i:a_i\in\mathbb{R}\}$ ise olur ($V=\{e^x\sum_{i=1}^na_ix^i:a_i\in\mathbb{R}\}$ ise olmaz: $e^x\notin V$).

$V=\{e^x\sum_{i=0}^{\infty:}a_ix^i:a_i\in\mathbb{R},\textrm{ sonlu tanesi dışında } a_i=0\}$ iken de olur.

(Bu uzayda, integralin tanımlanabildiğini görmek için, bazı özel durumlarda, Kısmi İntegrasyonun kısa formülünü hatırlayın.)

$V=\{a\sin x+b\cos x:a,b\in  \mathbb{R}\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur.

$V=\{a\sinh x+b\cosh x:a,b\in  \mathbb{R}\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur.

$V=\{\sum_{i=-n}^na_ix^{i\over2}:a_i\in  \mathbb{R},a_0=0,n\in\mathbb{N}^+\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur.

$V=\{e^x\sum_{i=-n}^na_i x^{i\over2}:a_i\in  \mathbb{R},a_0=0,n\in\mathbb{N}^+\}$ iken de $\frac d{dx}$ 1-1 olur (ama örten olmaz ve tersi (integral) tanımlanamaz).

Daha başka benzer uzaylar da oluşturulabilir.

İntegral tanımlayabilmek için (sonlu boyutlu ise) $V$ nin (0 dan başka) sabit içermemesi yeterli, çünki o zaman 1-1 (ve sonlu boyutlu olduğu için) örten oluyor, tersi (integral) tanımlanabilir.

Yukarıdaki örneklerde, sonuncusu hariç, sonsuz boyutlu olanlarda da integral (türev lineer operatörünün tersi  olarak) tanımlanabiliyor. Son örnekte bu imkansız.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Son örnekte integralin tanmlanamayacağı, eşdeğer olarak $\frac{d}{dx}$ in örten olmadığı, $\int \sqrt xe^x\,dx$ fonksiyonunun elementer olmayışından, veya daha basitçe, kısmi integrasyon deneyerek görülebilir.
20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,049,899 kullanıcı