Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
397 kez görüntülendi

$2^{23}$+14! sayısının ondalık yazılımı 87A86B79808 ise A.B kaçtır?

Not=2014 Tübitak Matematik Olimpiyatlarının 22.sorusu

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 397 kez görüntülendi

Elle hesaplamasi hizli. $87\boxed186\boxed679808$. 

Hele ki: $2^{20}=1048576$ oldugu biliniyorsa, bunu neden biliyorum emin degilim ama aklimda kalmis.

Çok manuel bir çözüm olmuş :)

insanin aklina boyle (yari-hizli) bir cozum gelince, sonrasinda hos cozumler aklina gelmiyor. Bakalim belki guzel bir cozumu vardir, bakalim gorelim, ondan benim tirt cozumumu yorum olarak yazdim :)

Aklıma ilk olarak ifadeyi mod $9$ ve mod $11$,$7$ de incelemek geldi.

guzel fikirmis.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$$2^{23}+14!=(-1)^{23}+14!=-1(mod3)$$ o Halde  $$87A86B79808=(A+B+1)(mod3)$$ dir. Buradan 
$$A+B+1=2 \Rightarrow A+B=1(mod3)$$. Buradan $$A+B=\{1,4,7,10,13,16\}..................(*)$$olur. Diğer taraftan $$2^{23}+14!=5(mod9)$$ olduğundan $$87A86B79808=(A+B+7)(mod9)$$ olmalı ve  
$$A+B+7=5 \Rightarrow A+B=7(mod9)....................(**) $$olmalıdır.
(*) ve (**) dan $$A+B=7$$ den (A,B)= (0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0) $$
$$AB=0,6,10,12 $$ ya da$$ A+B=16$$ dan $$ AB=63,64$$ olur.
(19.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
$2^{23}$ sayisini $9$ ve $11$ modunda incelersek $2^{23}=5 (mod 9)$ ve $2^{23}=8 (mod 11)$ olur. $14!$ ifadesi zaten ikisine de kalansiz bolundugu icin bir nevi etkisiz eleman. O halde $87A86B79808=7+A+B=5 (mod 9)$ ve $87A86B79808=14+A-B=8 (mod 11)$ olmalidir. Bu durumda $A+B=7$ veya $A+B=16$'ya esit olacak ve $A-B=-6$ veya $A-B=5$ olacaktir. Bu olasiliklar icerisinde saglanan tek $(A,B)$ ikilisi $(1,6)$ oldugundan $A.B=6$ olmalidir.
(2.9k puan) tarafından 
Bu arada cozumu telefondan yazdigimdan denklik yerine esitlik kullandim kusura bakmayin :)
19,393 soru
21,149 cevap
70,809 yorum
25,201 kullanıcı