Alan bulma sorusu.

Question

$xy=1, xy=3, y=x^3, y=2x^3$ eğrileri arasında kalan bölgenin alanı nedir?

Comments

http://matkafasi.com/16084/integralde-degistirireken-jacobian-matrisinin-determinanti?show=16084#q16084

Answer 1

$$\begin{align} x=f(\eta, \xi)=\left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{1/4}\\ y=g(\eta, \xi)=\left(\eta^3\xi\right)^{1/4} \end{align}$$ dönüşümleri yapılırsa verilen bölge $$B=\{(\eta, \xi): 1\leq \eta\leq 3, 1\leq \xi\leq 2\}$$ kapalı dikdörtgenine dönüşür. Bu dönüşümün Jakobyen determinantı da $J=1/4\xi$'dir$ (J\not=0)$. Bunların ışığında istenen integral: $$\int_Sdxdy=\int_BJd\eta d\xi=\frac{1}{4}\int_1^3d\eta \int_1^2\frac{d\xi}{\xi}=\frac{\ln 2}{2}$$ bulunur.