$f(x)=ax^2+bx+c$ fonksiyonunun kökleri

Question

$f(x)=ax^2+bx+c$ fonksiyonu $\mathbb{R}$ üzerinde tanımlı ve $a$ sıfırdan farkılı olsun. $f(x)$ fonksiyonunun $\mathbb{C}$'deki köklerinin $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ olduğunu kanıtlayınız.

Answer 1

"Negatif bir sayının karekökü var mıdır?" (gerçel sayılarda yok), "varsa iki tane (zıt işaretli) midir?" , "negatif bir gerçel sayının karekökü varsa onunla gerçel sayılardaki gibi aritmetik işlemler yapabilir miyiz?" ve "bu ikisinden başka kök var mıdır?" gibi soruları gözardı edersek, bu iki  "sayı" nın o denklemi sağladığı (ilk üç sorunun yanıtının "evet" olduğu varsayılıp) biraz cebirsel işlem (polinomda yerine koyarak) yaparak görülür.

Answer 2

$ax^2+bx+c=0$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$x^2+2\frac{b}{2a}x=-\frac{c}{a}$

$x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$\sqrt{(x+\frac{b}{2a})^2}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x_1+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_2+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$