$\int\:\gamma(s,x)\:dx$ integralini çözün

Question

$\gamma(s,x)$ tamamlanmamış gama fonksiyonu (alt) olmak üzere :

$$\large\int\:\gamma(s,x)\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int\int_0^x\:t^{s-1}e^{-t}\:dt\:dx$$

$\int_0^x\:t^{s-1}e^{-t}\:dt=u$ ve $dx=dv$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$$x\int_0^x\:t^{s-1}e^{-t}\:dt-\int\:x^s\:e^{-x}\:dx$$

İntegralleri gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$x\underbrace{\int_0^x\:t^{s-1}e^{-t}\:dt}_{\large\gamma(s,x)}-\int\:\underbrace{x^s\:e^{-x}}_{\large\frac{\partial}{\partial\:x}\gamma(s+1,x)}\:dx$$

$$\large\color{red}{\boxed{\int\:\gamma(s,x)\:dx=x\:\gamma(s,x)-\gamma(s+1,x)}}$$