${\int\:x^a\:\Gamma(s,x)\,dx}$ integralini çözün

Question

${\Gamma(s,x)}$ tamamlanmamış gama fonksiyonu (üst) olmak üzere :

$${\large\int\:x^a\:\Gamma(s,x)\,dx}$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int\:x^a\:\Gamma(s,x)\,dx$$

$\Gamma(s,x)=u$ ve $x^a=dv$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$$\frac{x^{a+1}}{a+1}\Gamma(s,x)+\frac{1}{a+1}\int\:x^{a+s}\:e^{-x}dx$$

Sadeleştirelim.

$$\frac{1}{a+1}\bigg[x^{a+1}\Gamma(s,x)+\int\:x^{a+s}\:e^{-x}\,dx\bigg]$$

Tamamlanmamış gama fonksiyonu için aşağıdakiler yazılabilir.

$$\Gamma(s,x)=\int_x^\infty\:x^{s-1}\:e^{-x}dx$$

$$\frac{\partial}{\partial\:x}\Gamma(s,x)=-x^{s-1}\:e^{-x}$$

Bunu integrali bulmak için kullanalım.

$$\frac{1}{a+1}\bigg[x^{a+1}\Gamma(s,x)+\int\:\underbrace{x^{a+s}\:e^{-x}}_{\large-\frac{\partial}{\partial\:x}\Gamma(s+a+1,x)}\,dx\bigg]$$

Artık integrali kolaylıkla bulabiliriz.

$$\large\color{red}{\boxed{\int\:x^a\:\Gamma(s,x)\,dx=\frac{1}{a+1}\bigg[x^{a+1}\Gamma(s,x)-\Gamma(s+a+1,x)\bigg]}}$$