$\int\:\Gamma(s,x)\:dx$ integralini çözün

Question

$\Gamma(s,x)$ tamamlanmamış gama fonksiyonu (üst) olmak üzere :

$$\large\int\:\Gamma(s,x)\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int\int_x^\infty\:t^{s-1}e^{-t}\:dt\:dx$$

$\int_x^\infty\:t^{s-1}e^{-t}\:dt=u$ ve $dx=dv$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$$x\int_x^\infty\:t^{s-1}e^{-t}\:dt+\int\:x^s\:e^{-x}\:dx$$

İntegralleri gama fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$x\underbrace{\int_x^\infty\:t^{s-1}e^{-t}\:dt}_{\large\Gamma(s,x)}+\int\:\underbrace{x^s\:e^{-x}}_{\large-\frac{\partial}{\partial\:x}\Gamma(s+1,x)}\:dx$$

$$\large\color{red}{\boxed{\int\:\Gamma(s,x)\:dx=x\:\Gamma(s,x)-\Gamma(s+1,x)}}$$