Metrik Uzaylara Dair

Question

$X\neq \emptyset $ sonlu bir küme ve $\mathcal{P}\left(X\right)=\{A|A\subseteq X\}$  olmak üzere

$$d\left(A,B\right)=\left| A\Delta B\right|$$ “A ile B kümesinin simetrik farkının eleman sayısı”  şeklinde tanımlanan $$d:\mathcal{P}\left( X\right) \times \mathcal{P}\left(X\right) \rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonunun $\mathcal{P}\left(X\right)$ üzerinde bir metrik olduğunu kanıtlayınız.

Comments

$X$ lalettayin bir küme mi? Yoksa bir özelliği var mı? Sizce $X$ kümesinin bir özelliğinin olması gerekir mi?

---

Soruda X kümesi ile ilgili bilgi verilmemiş. Her hangi bir X için soruluyor. Ama reel sayıların bir alt kümesidir diye düşünüyorum.

---

Yanlış düşünüyorsun.

---

Peki nasıl düşünmeliyim hocam ? 

---

Söz konusu fonksiyonun üçgen eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığını araştır. Ne gibi zorluklarla karşılaşacağını tespit etmeye çalış bakalım.

---

Üçgen eşitsizliğini sağlıyor hocam. 

---

Geriye kalanlar zaten açık. O halde sorun yok.

---

$X$ in sonlu olması gerekli.

Answer 1

İpucu: $X$ kümesi sonlu olmak üzere

$$A\backslash B \subset (A\backslash C) \cup (C\backslash B)$$ ve $$B\backslash A \subset (B\backslash C) \cup (C\backslash A)$$

Comments

Hallettim hocam teşekkür ederim. 

---

Cevabını burada paylaşırsan herkes faydalanır.