${\beta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{\eta^{s-1}e^{-\eta}}{1+e^{-2\eta}}d\eta}$ eşitliğini ispatlayın

Question

 ${\beta(s)}$ dirichlet beta fonksiyonu ve ${\Gamma(s)}$ gama fonksiyonu olmak üzere :

$${\large\beta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{\eta^{s-1}e^{-\eta}}{1+e^{-2\eta}}d\eta}$$

eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

İntegrali inceliyelim.

$${\large\int_0^\infty\frac{\eta^{s-1}e^{-\eta}}{1+e^{-2\eta}}d\eta}$$

Pay ve paydayı ${e^\eta}$ ile çarpalım.

$${\large\int_0^\infty\frac{\eta^{s-1}}{e^\eta+e^{-\eta}}d\eta}$$

${\frac{1}{e^\eta+e^{-\eta}}}$ ifadesini maclaurin serisi ile açalım.

$${\large\int_0^\infty\eta^{s-1}\sum_{n=0}^\infty (-1)^ne^{-(2n+1)\eta} d\eta}$$

Toplam sembolünü integralin dışına çıkaralım.

$${\large \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^\infty \eta^{s-1}e^{-(2n+1)\eta} d\eta}$$

${\omega=(2n+1)\eta}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\large \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} \int_0^\infty \omega^{s-1}e^{-\omega} d\omega}$$

${\int_0^\infty \omega^{s-1}e^{-\omega} d\omega}$ ifadesi ${\Gamma(s)}$ ifadesine eşit olduğuna göre yerine yazalım.

$${\large \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}\Gamma(s)}$$

${\large \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}}$ ifadesi yerine ${\beta(s)}$ yazalım.

$${\large\int_0^\infty\frac{\eta^{s-1}e^{-\eta}}{1+e^{-2\eta}}d\eta=\beta(s)\Gamma(s)}$$

${\Gamma(s)}$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına yazalım.

$${\large\beta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{\eta^{s-1}e^{-\eta}}{1+e^{-2\eta}}d\eta}$$

Comments

Toplam sembolü ile integral işaretinin yerlerini değiştirmeye hakkın var mı? Varsa hangi koşullar altında var?

---

${\sum_{n=0}^\infty (-1)^ne^{-(2n+1)\eta}}$ ifadesi yakınsak bir seri olduğundan dışarı çıkartılabilir.

Değil mi?

---

Yakınsak olması yetiyor mu? Emin misin?