Artan bir gerçel sayılar dizisi

Question

$I$ bir iyi sıralı küme olsun ve $(r_{\alpha})_{\alpha \in I}$ elemanları gerçel sayılar olan artan bir dizi olsun (yani $i < j$ ise $r_i < r_j$ olsun). Bu durumda $I$'nın sayılabilir olduğunu gösteriniz.

Comments

Bu gerçel sayıların iyi sıralı altkümeleri sayılabilir demek değil mi? Ama bu konuları pek bilmesem de kafamı karıştıran şöyle bir şey var. SA gereği, her küme zaten iyi sıralanabilir değil mi?

---

Her küme iyi sıralanabilir ama gerçel sayıların rastgele bir alt kümesini alıp seçim aksiyomuyla iyi sıraladığınızda bu sıralamanın gerçel sayıların kendisinden gelen bildiğimiz sıralamayla uyuşmasına gerek yok. Zaten bu gözlem de tam olarak bunu söylüyor. $\omega_1$ ilk sayılamaz ordinali belirtmek üzere gerçel sayıların (kendi sıralaması altında) artan ya da azalan bir $\omega_1$-dizisi bulunamaz.

---

Anladım, Ok. Sağol.

Answer 1

Kimse ilgilenmemiş. O zaman soru ziyan olmasın diye ben yazayım kanıtı.

 $I$ iyi sıralı olduğundan, her $i \in I$ için eğer $i$ maksimal eleman değilse $i$ elemanının bir ardılı (successor) vardır, $I-\{j: j \leq i\}$ kümesinin minimal elemanı. Bu elemanı $i^+$ ile gösterelim.

Maksimal olmayan her $i \in I$ için $r_i$ ve $r_{i^+}$ arasında bir $q_i$ rasyonel sayısı bulabiliriz. Buradan $I-max(I)$'dan $\mathbb{Q}$'ya tanımlı $i \mapsto q_i$ fonksiyonunun birebir olduğunu göstermek kolay. Demek ki $I$ sayılabilir bir küme olmalı.  

Comments

Burdan sunu soyleyebiliriz herhalde: Eger $\mathbb R$'yi iyi siralarsak oyle iki irrasyonel sayi vardir ki arasinda rasyonel sayi yoktur ya da boyle bir artan dizi. Tabi boyle bir atan dizi olsa zaten $\mathbb R$'nin sayilabilir olmasi gerekirdi, ki sayilmaz. O zaman sorum manasiz oldu. Tabi duzenledigim icin ortada soru gozukmuyor.

---

Gerçel sayıları iyi sıraladığımızı varsayalım. Her iyi sıralı küme bir ordinal sayıya eş yapısaldır. Dolayısıyla iyi sıralamamız bir $\alpha \geq 2^{\aleph_0}$ ordinaline karşılık gelecek.

Öte yandan $2^{\aleph_0}$'nın eş sonluluğu (cofinality) $\omega$'dan büyük olduğu için $2^{\aleph_0}$ içerisinde sınırsız ve sayılabilir bir dizi olamaz. Bu da demektir ki, bu iyi sıralama altında rasyonel sayıları işaretlediğinizde $\alpha$'nın $2^{\aleph_0}$ başlangıç dilimi (initial segment) içerisinde bile rasyonel sayılar sınırsız (unbounded) olamaz. Yani öyle iki irrasyonel bulunabilir ki aralarında bir rasyonel sayı olmaz.