sürekli sıçrama

Question

Bir top belirli bir $h$ yüksekliğinde mesafeden bırakılıyor ve bir önceki yüksekliğinden 1'den küçük oranda daha az yükselerek belirli bir oranda azalarak devam ediyor ve toplamda aldığı yol $3/2h$ ise top yere düştükten sonra bir önceki yüksekliğinin kaç katı yükselir ?

Answer 1

Top, ilk kez ;$h.\frac a{100}$'si kadar yükselsin. Aynı yüksekliği düşeceği için de $h.\frac a{100}$ kadar yol alır. Burada $\frac a{100}<1$ dir.  İkincide ise $2.\frac{ha}{100}.\frac{a}{100}$ kadar yol alacaktır. Böylece bu topun duruncaya kadar alacağı yol :

$h+2h\frac a{100}+2h\frac{a^2}{100^2}+2h\frac{a^3}{100^3}+...$ olacaktır. Bu da 

$h+2h\frac{a}{100}\left[1+\frac{a}{100}+\frac{a^2}{100^2}+...\right]$

=$h+2h\frac a{100}\left[\frac{1}{1-\frac a{100}}\right]=h\left[1+\frac{2a}{100-a}\right]=h\left[\frac{100+a}{100-a}\right]$ dır.

$h\left[\frac{100+a}{100-a}\right]=\frac{3h}{2}$ den $a=20$ Yani top, her seferinde bir önceki yüksekliğinin %20'si kadar yükselir.

Answer 2

Geometrik bir seri olusacagindan cozmemiz gereken denklem: $2\frac {a}{1-a}=\frac 32-1$. 

Ek 1: Seri su sekilde $\frac 32=1+2a(1+a+a^2+\cdots)$.

Ek 2: Sazan gibi seriyi $\frac 32=1+a+a^2+\cdots$ almamak lazim.