${\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}}$ olduğunu ispatlayın

Question

${\Gamma(x)}$ gama fonksiyonu olmak üzere

$${\large\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}}$$

Eşitliğinin doğru olduğunu ispatlayın.

Answer 1

Gama fonksiyonu için aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz :

$${\large\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}}$$

$${\large\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)}$$

${\Gamma(z)\Gamma(1-z)}$ ifadedesinin eşitini bulmaya çalışalım.

$${\large\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)}$$

Yukarıda verdiğim çarpım sembollü eşitliği burada kullanalım.

$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=(-z)\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}\frac{1}{(-z)}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^{-z}}{1-\frac{z}{n}}  }$$

Sadeleştirelim.

$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{(-z)}{(-z)z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z(1+\frac{1}{n})^{-z}}{\bigg(1+\frac{z}{n}\bigg)\bigg(1-\frac{z}{n}\bigg)}}$$

$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-\frac{z^2}{n^2}}}$$

Sinüs için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

$${\large\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty \bigg(1-\frac{z^2}{n^2}\bigg)}$$

Bu eşitliği kullanalım.Sonucu :

$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)} }$$

$${\large\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}}$$

olarak buluruz.

Comments

İlk eşitliğin neden Gamma fonksiyonuna eşit olacağı da ayrı bir şekilde ispatlanabilir.