${\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\omega}{\sqrt{1+\sin^2(\omega)}}}$ integralini çözün

Question

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\omega}{\sqrt{1+\sin^2(\omega)}}}$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz:

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\omega}{\sqrt{1+\sin^2(\omega)}}}$$

${\eta=\sin(\omega)}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${\large\int_0^1 \frac{d\eta}{\sqrt{1-\eta^4}}}$$

${\Omega=1-\eta^4}$ olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.

$${\large-\frac{1}{4}\int_1^0 (1-\Omega)^{-\frac{3}{4}}\Omega^{-\frac{1}{2}}d\Omega}$$

Dışarıdaki eksi ile integralin sınır değerlerinin yerlerini değiştirelim.

$${\large\frac{1}{4}\int_0^1 (1-\Omega)^{-\frac{3}{4}}\Omega^{-\frac{1}{2}}d\Omega}$$

Beta fonksiyonu için şu eşitlikler var :

$${\large B(x,y)=\int_0^1 \mu^{x-1}(1-\mu)^{y-1}d\mu}$$

$${\large B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}$$

Şimdi bizim integralimizi de beta ve gama fonksiyonu ile yazmaya çalışalım.

$${\large\frac{1}{4}\int_0^1 (1-\Omega)^{\frac{1}{4}-1}\Omega^{\frac{1}{2}-1}d\Omega=\frac{1}{4}B(\dfrac{1}{2},\frac{1}{4})}$$

$${\large\frac{1}{4}B(\dfrac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{4\Gamma(\frac{3}{4})}}$$

Gama fonksiyonu için şu eşitlik yazılabilir :

$${\large\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}}$$

${x}$ yerine ${\frac{1}{4}}$ koyalım :

$${\large\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4})=\sqrt{2}\pi}$$

${\Gamma(\frac{1}{4})}$ ifadesini eşitliğin sağ tarafına koyalım.

$${\large\Gamma(\frac{3}{4})=\frac{\sqrt{2}\pi}{\Gamma(\frac{1}{4})}}$$

Bulduğumuz bu ifadeyi yukarıda ${\Gamma(\frac{3}{4})}$ yerine yazalım.

$${\large\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{4\Gamma(\frac{3}{4})}=\large\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{4\frac{\sqrt{2}\pi}{\Gamma(\frac{1}{4})}}}$$

Sadeleştirelim.

$${\large\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{2}\pi}}$$

${\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}}$ olduğuna göre yerine yazalım , sadeleştirelim.Sonucu :

$${\large\frac{\sqrt{\pi}\Gamma^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{2}\pi}}$$

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\omega}{\sqrt{1+\sin^2(\omega)}}=\frac{\Gamma^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{2\pi}}\approx 1.311028}$$

olarak buluruz.

Answer 2

$$1+\sin^2 w=u^2$$ dönüşümü yaparak başlayabilirsin. Ardından da $$\frac{1}{u}=v$$ dönüşümü yaparak devam edebilirsin.

Comments

İşe yarıyor mu gerçekten?

---

Yaramaması lâzım. Bu integral $k=\pm i$ için $F(k)$ 1. tip tam-olmayan eliptik integrali olmalı. Bu integrallerde ise $|k|<1$ şeklinde. Bu ifâdeler belki bir şekilde genişletilebilir; incelenmesi lâzım.

---

1. tip eliptik integraller $0<k^2<1$ olmak üzere

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-k^2sin^2x}}$$ şeklindedir.

---

Cevap ve yorumlar için teşekkürler.

İntegral ; ${1.}$ tür tam eliptik integralin ${\pm i}$ için değeri.