Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
8.4k kez görüntülendi

Çift katlı integralde polar koordinat dönüşümü nasıl yapılır?

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 8.4k kez görüntülendi

3 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
İntegral değişkenleri $(\xi, \eta)$ olsun. Bu koordinat takımından $$\begin{align} \xi=u \cos v \\ \eta=u \sin v \end{align}$$ dönüşümüyle $(u,v)$ takımına geçmek isteyelim. Bu durumda, $$I=\int\int f(\xi, \eta)\,d\xi\, d\eta$$ integrali de $$\int\int F(u, v)|J|\,du\, dv$$ haline girer. Burada $F(u,v)=f[\xi(u,v),\eta(u,v)]$, $|J|$, Jakobiyen matrisinin determinantıdır ve bu özel durum için $|J\,|=u$'dur. Herşeyi toplarsak sonuçta istenen bulunur:  $$I=\int\int  F(u, v)u\,du\, dv.$$
(1.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Integralde degisken degistirireken Jacobian matrisinin determinanti nerden geliyor?
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Acemice yazmış olabilirim , kusura bakmayın :)

Çift katlı intagrallerde polar koordinat dönüşümü , kartezyen koordinat sistemi ile çözülmesi zor olan integralleri daha kolay çözmemize yardımcı olur. Polar koordinat sisteminde bildiğimiz gibi iki değişken vardır , bunlar; ${r}$(modül,uzunluk) ve ${\theta}$(argüment,açı). Buradan anlaşılacağı üzere ${r>0}$. Kartezyen koordinat sisteminden polar koordinat sistemine geçerken ${F(x,y)}$ fonksiyonu için aşağıdaki işlemler yapılır.

$${x=r\cos(\theta)}$$

$${y=r\sin(\theta)}$$

Fonksiyonumuzu polar koordinatlara çevirdik.Şimdi integralle ilgilenelim.Fonksiyonu her birinin alanı ${dA}$ olan sonsuz eşit parçaya bölelim.

image

${dA}$ nın bir kenarının uzunluğu ${dr}$ , diğer kenarının uzunluğu ise ${rd\theta}$.Yani ${dA=rdrd\theta}$

${rd\theta}$ daki ${r}$ nin gelme amacı çemberin özelliğinden.Yarıçapı ${r}$ olan bir çemberde ${\alpha}$ açısının gördüğü yayın uzunluğu ${d_{yay}=r\alpha}$ olarak ifade edilebilir.

O halde integralimizi artık polar koordinat sistemi ile yazabiliriz.

$${\large \iint\limits_D F(x,y)dA=\iint\limits_I F(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) rdrd\theta}$$

Şimdi birkaç soru çözücem.Daha iyi anlaşılabilir.

$${\Large1.Soru}$$

${\large\iint\limits_D 2xydxdy=?}$ ,  ${D: [0,\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}}$  ${0\le x^2+y^2\le4}$

Fonksiyonu polar koordinatlara dönüştürelim.

$${\large\iint\limits_D 2r\sin(\theta)r\cos(\theta)rdrd\theta}$$

Sadeleştirelim ve sınır değişkenlerini yazalım.

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 2r^3\sin(\theta)\cos(\theta)drd\theta}$$

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 r^3\sin(2\theta)drd\theta}$$

İçerideki integrali hesaplayalım.

$${\large\int_0^{\frac{\pi}{2}} \huge[\large\frac{r^4}{4}\huge]_0^2\large\sin(2\theta)d\theta}$$

$${\large4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta) d\theta}$$

Diğer integrali çözelim.

$${\large 4\huge[\large-\dfrac{\cos(2\theta)}{2}\huge]_0^{\frac{\pi}{2}}\large=2}$$

olarak buluruz.

$${\Large 2.Soru}$$

${\large\iint\limits_D (4-x^2-y^2)dxdy=?}$    ${D: [0,2\pi]\to\mathbb{R}}$  ${2\le x^2+y^2\le4}$

Fonksiyonu polar koordinatlara dönüştürelim ve trigonometriden yararlanarak sadeleştirelim.

$${\large\iint\limits_D (4-(x^2+y^2))dxdy}$$

$${\large\iint\limits_D (4-((r\sin(\theta))^2+(r\cos(\theta))^2))rdrd\theta}$$

$${\large\iint\limits_D (4-r^2(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)))rdrd\theta}$$

$${\large\iint\limits_D (4r-r^3)drd\theta}$$

Sınır değişkenlerini yazalım

$${\large\int_0^{2\pi}\int_{\sqrt{2}}^2 (4r-r^3)drd\theta}$$

İçerideki integrali alalım.

$${\large\int_0^{2\pi} \huge[\large\frac{4r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\huge]_{\large\sqrt{2}}^2\large d\theta}$$

$${\large\int_0^{2\pi}  d\theta}$$

Diğer integrali alalım.

$${\large[ \theta]_0^{2\pi} =2\pi}$$

olarak buluruz.

(1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

İkinci integralde iç ifade parantez içinde olmalı. İşlem yaparken de parantezler unutulmuş. Ayrıca integraller arası eşitlikler de. Eline sağlık.

Teşekkürler hocam.

"İkinci integralde iç ifade parantez içinde olmalı"  , burada dediğinizi tam olarak anlayamadım?

$(4-x^2-y^2)$.   

Düzelttim hocam.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

@Yasin Şale hocamın yazdığını farklı bir şekilde bende yazayım.

${F=(x,y)}$ fonksiyon olmak üzere , aşağıdaki gibi bir integralimiz olsun.

$${\large\iint\limits_D F(x,y)dxdy}$$

İntegrali kartezyen koordinat sisteminden polar koordinat sistemine taşıyalım.

$${x=r\cos(\omega)}$$

$${y=r\sin(\omega)}$$

$${\large\iint\limits_D F((r\cos(\omega)),(r\sin(\omega)))|J|dr d\omega}$$

Jacobian matrisinin determinantını bulalım.

$${\large |J|=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \omega} \\ \frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial \omega}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos(\omega)&-r\sin(\omega)\\ \sin(\omega)&r\cos(\omega) \end{vmatrix}=r\cos^2(\omega)+r\sin^2(\omega)=r}$$

Ve sonuç olarak :

$${\large\iint\limits_D F(x,y)dxdy=\iint\limits_{D_1} F((r\cos(\omega)),(r\sin(\omega))) rdrd\omega}$$

olarak buluruz.

(1.1k puan) tarafından 
18,113 soru
20,679 cevap
66,521 yorum
18,788 kullanıcı