Sonsuz seri sorusu

Question

Merhabalar

Elimde böyle bir fonksiyon var :

${f(x)=\large\sum_{n=0}^a\frac{sin((2n+1)x)}{2n+1}}$

${a}$ değeri artmaya başladığında fonksiyon ${2\pi}$ periyotlu kare dalgaya benziyor.Şimdi benim bulmak istediğim ${a}$ değeri sonsuza giderken , fonksiyonun ${[0,\pi]}$ aralığındaki ${x}$ ekseni ile arasında kalan bölgenin alanı.Aşağıda fonksiyonun birkaç ${a}$ değeri için grafiği ve alanları var.

${a=2}$
http://imgur.com/AzwfDF6

${a=5}$
http://imgur.com/feSafwe

${a=100}$
http://imgur.com/CkEysRk

Denklem :

${\large I= \int_0^\pi \large\sum_{n=0}^\infty\frac{sin((2n+1)x)}{2n+1}dx }$

${ \large I= \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1} \int_0^\pi {sin((2n+1)x)}dx}$

${u=(2n+1)x}$

${ \large I= \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2} \int_0^{\pi(2n+1)} {sin(u)}du}$

${ \large I= \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}} \huge[\large-cos((2n+1)x)\huge]_0^\pi$

${ \large I= \sum_{n=0}^\infty\frac{1-cos((2n+1)\pi)}{(2n+1)^2}}$

${\large I= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} - \sum_{n=0}^\infty\frac{cos((2n+1)\pi)}{(2n+1)^2} }$

${\large A=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}}$

${\large A= (\frac{1}{1})^2+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{5})^2+(\frac{1}{7})^2+ ... }$

${\large A+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{4})^2+...=(\frac{1}{1})^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{4})^2+...}$

${\large A+(\frac{1}{2})^2\huge(\large(\frac{1}{1})^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{3})^2+...\huge)\large=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}}$

${\large A+\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}}\large=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

${\large A=\frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}}=\frac{3}{4}\zeta(2)=\large\frac{\pi^2}{8}$

${\large I=\frac{\pi^2}{8}-\sum_{n=0}^\infty\frac{cos((2n+1)\pi)}{(2n+1)^2}}$

Buraya kadar gelebildim.Sondaki kosinüslü sonsuz toplamı nasıl bulabilirim?Teşekkürler.

Answer 1

Kendi soruma kendim cevap vereyim.Basit bir işlemmiş ama görememişim :)

${\large cos((2n+1)\pi)=cos(2n\pi+\pi)=-cos(2n\pi)}$

${\large-cos(2n\pi)=-1}$

${\large\sum_{n=0}^\infty\frac{cos((2n+1)\pi)}{(2n+1)^2}=-\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}=-\large\frac{\pi^2}{8}}$

Cevap :

${\large I=\frac{\pi^2}{8}-(-\frac{\pi^2}{8})=\LARGE\frac{\pi^2}{4}}$