Liouville teoremi nedir?

Question

1)Aşkın sayı elde etmenin temel yöntemlerinden biri olarak geçen Liouville teoremi nedir? 

2)Bu teoremle varlığı garantilenen aşkın sayılara liouville sayıları deniyormuş ama aşkın sayı olarak bilinen $\pi$ ve $e$ sayıları liouville sayısı değilmiş, neden?

3) Cebirsel sayılar kümesi sayılabilir olmasına karşın aşkın sayılar kümesi sayılamaz olduğu (yani karmaşık sayıların içinde cebirsel sayılardan çok daha fazla aşkın sayı olduğu) üzerine bir kanıt mevcut mu? Mevcutsa nedir?

Comments

Son soru burada en cok sorulmus soru galiba. 4 gun once ben de sormustum. Ama daha once 2 kere daha soruldugunu ogrendim.

http://matkafasi.com/262/cebirsel-sayilar-kumesi-sayilabilirdir#a290

http://matkafasi.com/2294/%24-mathbb-q-x-%24in-asal-idealleri?show=2860#c2860

---

Liouville teoremi icin arama yapmistim ama sayılabilirlik için yapmamistim sorulara yazarken aklima gelip ekledigim bi soruydu tesekkur ederim bilgilendirme icin . :)

---

Kendi soruSunu kendi cevaplayanlar da var. Olabiliyor böyle şeyler..

---

Mümkün tabi :) soru sahibi konuyla ilgili kendini aydinlattigi anda burada da cevap verme yetisine sahip olacaktır eminim..

Answer 1

Teorem[Louville]:Eğer $a$, katsayıları tamsayı olan $m$. dereceden bir polinomunun kokuyse, o zaman belli bir $K$ sayisindan büyük her $q$ doğal sayısı için şu özellik sağlanır: Eger $p$ bir tamsayiysa ve

 $0<|a-\frac{p}{q}| \leq \frac{1}{q}$

eşitsizliklerini sagliyorsa

$\frac{1}{q^{m+1}}<|a-\frac{p}{q}| \leq \frac{1}{q}$

esitsizlikleri de saglanir.

Sonuç[Liouville]: $a\neq0$  bir gercel sayi olsun. Eğer sonsuz sayida $q$ doğal sayisi için 

 $0<|a-\frac{p}{q}| \leq \frac{1}{q^n}$

esitsizliklerini sağlayan bir $p$ tamsayisi bulunabiliyorsa, o zaman $a$ sayisi $m$'den daha küçük dereceli ve katsayilari tamsayi olan bir polinomunun koku olamaz. Eğer bu koşul sonsuz sayıda $m$ için gercekleniyorsa o zaman $a$ cebirsel olamaz.

Kanıt: $f \neq0$, derecesi $m<n$ olan ve $a$'yi sifirlayan bir polinom olsun. O zaman $x^{n-(m+1)} f$ polinomu da $a$'yi sifirlar ve derecesi $n-1$'dir. Ama bu da teoremle çelişir. Birinci onerme kanitlanmistir. İkinci önerme de bundan cikar. $\square$

Sonuç[Liouville sayıları]: Eğer $(a_i)_i$, $0$'dan $9$'a kadar olan rakamlardan oluşan ve bir zaman sonra sabit $0$ olmayan bir diziyse o zaman

        $a=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{10^{i!}}$

sayısı aşkındır.

Kanıt: Bir $m$ doğal sayısı sabitleyelim. $q=10^{m!}$ olsun. Ve $p$ sayısını 

$\frac{p}{q}=\sum_{i=1}^{m}\frac{a_i}{10^{i!}}$

olacak biçimde seçelim. O zaman

 $0<a-\frac{p}{q}=\sum_{i=m+1}^{\infty}\frac{a_i}{10^{i!}}<9\sum_{i=m+1}^{\infty}\frac{1}{10^{i!}}$

    $\leq  \frac{9}{10^{(m+1)!}} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{10^{i!}}= \frac{9}{10^{(m+1)!}} \frac{1}{1-\frac{1}{10}}$

    $=\frac{10}{10^{(m+1)!}}<\frac{1}{(10^{m!})^m}=\frac{1}{q^m}$

çıkar. Sonuç bir önceki sonuçtan çıkar. $\square$

Teorem[Cantor]: Aşkın sayı vardır. Hatta sayılamaz sonsuzlukta vardır.

Kanıt: Katsayıları kesirli sayılar olan polinomlar kümesinin sayılabilir sonsuzlukta olduğunu biliyoruz.  Ayrıca her polinomun en fazla derecesi kadar kökü vardır.[bknz. Cebirsel sayılar kümesi sayılabilirdir.] Ama gerçel sayılar kümesi sayılamaz sonsuzluktadır. [bknz. Cantor'un köşegen yöntemi] Demek ki sayılamaz sonsuzlukta cebirsel olmayan, yani aşkın sayı vardır. $\square$

Comments

İlk sorunun cevabi telefondan anca bu kadar..ikinci ve üçüncü sorunun cevabini da yakin zamanda verebilmeyi umuyorum.

umarım verdiğim cevaplar tatmin edici durumdadır.

---

Pardon Teorem[Liouville]'in kanıtı nasıl acaba? Ben kendi kendime bulamadım da:)

---

Bilmiyorum hocam bilseydim eklerdim büyük ihtimal boyumu aşacak bir kaniti vardir ama bildigim anda mutlaka eklerim..:) 

---

ben Kurt Mahler'in Lectures on Transcendental Numbers adlı kitabında birlikte teorem ve sonucun terslemesi gibi olan (aslında $\gamma=1$ kabul edilse bile tam eş değil) bir teorem buldum. Liouville sayıları da daha genel tanımlanmış, aşağıda yazmaya çalışacağım...

Answer 2

1) Teorem (Liouville): Eğer $a$ $n\geq 1$ derecesinden cebirsel bir sayı ise, her $p,q\in \mathbb{Z},\ q>0$ için
$|a - \frac{p}{q}|\geq \frac{\gamma}{q^{n}}$
 eşitsizliğini sağlayan bir $\gamma=\gamma(a)$ sabiti vardır.
 
Bunun çok farklı yollardan kanıtları mevcutmuş: Genelleştirilmişi olan Güting teoremi (Güting, R. Approximation of algebraic numbers by algebraic numbers. Michigan Math. J. 8 (1961), no. 2, 149-159. doi:10.1307/mmj/1028998566 ) ile, çokterimlilerin çarpanlarına ayrımları ile ya da

Kanıt (Ortalama değer teoremiyle): f(x) $a$ için asgari çokterimli olsun (= $f(a)=0$'ı sağlayan, katsayıları doğrusal bağımsız ve baş katsayısı pozitif olan indirgenemez çokterimli). Genelliği kaybetmeksizin (aksi takdirde aşikar) $a\in\mathbb{R}$ ve $|a-\frac{p}{q}|<1$'i varsayalım. Ortalama değer teoremine göre $f(a)-f(p/q))(a-p/q)f'(\epsilon)$ eşitliğini sağlayan belli bir $\epsilon\in]a,p/q[$ mevcuttur. Böylece $\epsilon\in]a,p/q[ \Rightarrow \exists \gamma=\gamma(a)>0: |f'(\epsilon)|<1/\gamma$
$f(a)=0$ olduğu için
$|a-\frac{p}{q}|>\gamma |f(\frac{p}{q})|$. f(x) asgari çokterimli olduğu için $\mathbb{Z}[x]$ üzerine indirgenemez ve Gauss'un yardımcı teoremine göre $\mathbb{Q}[x]$ üzerine de indirgenemez.
Bir soru ile ilgili: Z[x] üzerine indirgenemez, Q[x] üzerine indirgenebilir bir polinom var mıdır?

Yani $\frac{p}{q}\neq 0$ ve $q^{n}f(\frac{p}{q})\geq 1$
$\Rightarrow |a-\frac{p}{q}|>\gamma |f(\frac{p}{q})|>\frac{\gamma}{q^{n}}$ 

$\square$

2) Tanım: Eğer $a$ gerçel  sayısı $0<|a -\frac{p_m}{q_m}|\leq q_m^{-w_m}$ şartını  'sonsuza yakınsayan' bir gerçel sayı dizisi $w_1,w_2,...$ ve $q_m \geq 2$ olan   bir rasyonel sayı dizisi $\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},...$ için sağlıyorsa  $a$'ya Liouville sayısı denir.

Sav: Liouville sayıları aşkındır. 

Eğer $a$ bir Liouville sayısıysa ve aşkın değilse, o zaman $n$ derecesinden cebirseldir, yani Liouville teoremini $q_m\geq 2,p_m,w_m$ sayıları için kullanabiliriz:

$\frac{1}{q_m^{w_m}}\geq |a - \frac{p_m}{q_m}|\geq \frac{\gamma}{q_m^{n}} \forall m$. $\frac{p_m}{q_m}\neq a$ seçelim $\Rightarrow \gamma\leq q_m^{n-w_m}$. Ama yeterince büyük bir $w_m$ seçilirse ($w_m> n$),  $q_m^{n-w_m}<2^{n-w_m}$ olacağı için eşitsizlik sağlanamaz. $\square$

Not: Aşkın olduğu  kanıtlanan ilk (Liouville) sayı(sı) Liouville sabitidir,
$c=\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} 10^{-(j!)}$.
Kanıt: bkz. cevap ($(a_i)_{i\in \mathbb{N}}:=1$, $(w_m)_{m\in \mathbb{N}}:=m$, $\frac{p_m}{q_m}=\frac{p}{q}$ olacak şekilde)

Sav: $\pi$ bir Liouville sayısı değildir çünkü bütün olası $q_m\geq 2$,$p_m$ tam sayıları için $|\pi - \frac{p_m}{q_m}|>q_m^{-42}$ geçerlidir (ve de 42'yi geçmeden sonsuz yakınsayan bir gerçel sayı dizisi yoktur).

Kanıt (sadece $2,14\cdot 10^{14}$'ten küçük olan $q_m$'ler için, geri kalanlar Mahler, K. On the Approximation of pi. Indagationes Math. 15 (1953), 30-42. doi:10.1016/S1385-7258(53)50005-8'de):

Eğer $|\pi - \frac{p_m}{q_m}|\leq q_m^{-42}$ olursa, $p_m,\ q_m$ sayıları için

$|\pi-\frac{p_m}{q_m}<\frac{1}{2q_m^{2}}|$'in de geçerli olması gerekir, yoksa bundan $\frac{1}{2q^{2}}\leq |\pi-\frac{p_m}{q_m}|\leq q^{-42}\Rightarrow q^{40}\leq 2\Rightarrow q<2$ çıkar.

Bu eşitsizliğe göre $p_m/q_m$, $\pi$'nin devamlı kesir yakınsamalarından biri olamak zorundadır (neden?).

$\pi= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,...]$

$(=[b_0;b_1,b_2,...])$

13'e ait $p_{26}/q_{26}$ yakınsaması $2,14\cdot 10^{14}$'den büyüktür, daha önce gelen yakınsamaların en büyüğü 292'dir. Bu yüzden

$|\pi- \frac{p_m}{q_m}|>\frac{1}{q_m (q_{m+1}+q_m)}=\frac{1}{q_n((b_{n+1}+1)q_n+q_{n-1})}>\frac{1}{(b_{n+1}+2)q^2_n}\geq \frac{1}{292+2}q_n^2>q_n^{-42}$

Bir soru ile ilgili: Devamlı kesir teoremlerini kanıtlayın.

$e$ için de benzer bir kanıtın olması lazım.

Bir soru ile ilgili: Euler'in devamlı kesir formülü nedir?